2- Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o método direto de JORDAN.
1 0 1 1
0 1 2 3
1 1 1 4
-1 -1 -1 3

Passo 1

O enunciado dá a matriz 4\times4 abaixo e pede para calcular o determinante usando o método direto de JORDAN:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] -1 & -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
Pergunta: qual é \det(A)?
Informações relevantes dadas:
  • As entradas da matriz estão listadas acima.
  • O método indicado é o método direto de Jordan (entendido aqui como eliminação elemental tipo Gauss/Gauss–Jordan, ou seja, usar operações elementares por linhas para triangularizar a matriz e obter o determinante).]

Passo 2

Breve aula sobre operações elementares e como elas afetam o determinante (importante para seguir o método corretamente).
  • Ao usar operações por linhas, existem três tipos e seus efeitos no determinante:
    1. Trocar duas linhas ( R_i \leftrightarrow R_j): multiplica o determinante por -1.
    2. Multiplicar uma linha por um escalar k ( R_i \leftarrow k R_i): multiplica o determinante por k.
    3. Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha ( R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j com i\neq j): NÃO altera o determinante.
  • Estratégia prática para calcular \det(A) pelo método direto de Jordan: usar operações do tipo (3) para transformar a matriz em triangular superior sem trocar linhas nem multiplicar linhas por constantes sempre que possível. Depois, \det(A) é o produto dos elementos da diagonal principal da triangular superior (desde que só tenham sido usadas operações de tipo (3)); se houve operações de tipo (1) ou (2), ajustar o produto conforme explicado acima.
  • Vou rotular as linhas como R_1,R_2,R_3,R_4 seguindo a ordem dada.

Passo 3

Primeira etapa de eliminação: usar R_1 (pivot \,1) para zerar as entradas abaixo na coluna 1.
Linhas iniciais:
R_1=(1,0,1,1),\quad R_2=(0,1,2,3),\quad R_3=(1,1,1,4),\quad R_4=(-1,-1,-1,3).
Operações (cada uma é do tipo 3, portanto não alteram o determinante):
R_3 \leftarrow R_3 - R_1, \qquad R_4 \leftarrow R_4 + R_1.
Calculemos cada nova linha:
  • R_3 - R_1 = (1-1,\;1-0,\;1-1,\;4-1)=(0,1,0,3).
  • R_4 + R_1 = (-1+1,\;-1+0,\;-1+1,\;3+1)=(0,-1,0,4).
Após essas operações a matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Observação: não houve trocas nem multiplicações de linhas por escalares, então o determinante permanece inalterado até aqui.]

Passo 4

Segunda etapa de eliminação: usar R_2 (pivot \,1 na coluna 2) para zerar as entradas abaixo na coluna 2.
Linhas atuais relevantes:
R_2=(0,1,2,3),\quad R_3=(0,1,0,3),\quad R_4=(0,-1,0,4).
Operações (tipo 3, não alteram o determinante):
R_3 \leftarrow R_3 - R_2, \qquad R_4 \leftarrow R_4 + R_2.
Calculemos:
  • R_3 - R_2 = (0,\;1-1,\;0-2,\;3-3)=(0,0,-2,0).
  • R_4 + R_2 = (0,\;-1+1,\;0+2,\;4+3)=(0,0,2,7).
Agora a matriz é:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Terceira etapa de eliminação: usar R_3 (pivot -2 na coluna 3) para zerar a entrada abaixo na coluna 3.
Linha R_3=(0,0,-2,0) e R_4=(0,0,2,7).
Operação (tipo 3, não altera o determinante):
R_4 \leftarrow R_4 + R_3.
Calculemos:
  • R_4 + R_3 = (0,0,2+(-2),\,7+0)=(0,0,0,7).
A matriz triangular superior final é:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}.
Observação: em todas as etapas foram usadas apenas operações do tipo 3 (adição de múltiplos de uma linha a outra), portanto o determinante da matriz transformada é igual ao determinante original.]

Passo 6

Cálculo final do determinante: para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal é \,1,\,1,\,-2,\,7.
Portanto:
\det(A)=1\cdot 1\cdot(-2)\cdot 7=-14.

Resposta

-14

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