O método indicado é o método direto de Jordan (entendido aqui como eliminação elemental tipo Gauss/Gauss–Jordan, ou seja, usar operações elementares por linhas para triangularizar a matriz e obter o determinante).]
Passo 2
Breve aula sobre operações elementares e como elas afetam o determinante (importante para seguir o método corretamente).
Ao usar operações por linhas, existem três tipos e seus efeitos no determinante:
Trocar duas linhas (R_i \leftrightarrow R_j): multiplica o determinante por -1.
Multiplicar uma linha por um escalar k (R_i \leftarrow k R_i): multiplica o determinante por k.
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha (R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j com i\neq j): NÃO altera o determinante.
Estratégia prática para calcular \det(A) pelo método direto de Jordan: usar operações do tipo (3) para transformar a matriz em triangular superior sem trocar linhas nem multiplicar linhas por constantes sempre que possível. Depois, \det(A) é o produto dos elementos da diagonal principal da triangular superior (desde que só tenham sido usadas operações de tipo (3)); se houve operações de tipo (1) ou (2), ajustar o produto conforme explicado acima.
Vou rotular as linhas como R_1,R_2,R_3,R_4 seguindo a ordem dada.
Passo 3
Primeira etapa de eliminação: usar R_1 (pivot \,1) para zerar as entradas abaixo na coluna 1.
Observação: em todas as etapas foram usadas apenas operações do tipo 3 (adição de múltiplos de uma linha a outra), portanto o determinante da matriz transformada é igual ao determinante original.]
Passo 6
Cálculo final do determinante: para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal é \,1,\,1,\,-2,\,7.