Um estudo sociológico pretend a abordar o impacto do rendimento salarial em diferentes aspetos da sociedade, incluindo a necessidade/possibilidade de colocar os filhos em atividades extracurriculares. Desta forma, recolheram-se dados de 12 individuos de uma amostra adequada, registando o rendimento mensal (em euros) e o tempo (em horas) em atividades extracurriculares dos filhos por semana, designados de seguida por Rendimento e Tempo, respetivamente.
Rendimento x_{i} 2600 1400 2150 2750 950 3650 3200 2450 2600 1550 1850 1700
Tempo y_{i} 6 5 4 6 5 5 5 5 4 6 5 6
Complete a frase, baseado no modelo linear: A diminuição de 8 euros na variável Rendimento traduz-se numa variação de □ na variável Tempo.

Passo 1

O enunciado fornece n=12 pares (\text{Rendimento},\text{Tempo})=(x_i,y_i). Os dados são (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Rendimento x_i: 2600,\;1400,\;2150,\;2750,\;950,\;3650,\;3200,\;2450,\;2600,\;1550,\;1850,\;1700.
  • Tempo y_i: 6,\;5,\;4,\;6,\;5,\;5,\;5,\;5,\;4,\;6,\;5,\;6.
A pergunta a completar é, usando o modelo linear (regressão linear simples) que ajusta y em função de x:
“A diminuição de 8 euros na variável Rendimento traduz-se numa variação de □ na variável Tempo.”
Ou seja, é preciso calcular a variação prevista em y quando x diminui 8 unidades (euros), usando o coeficiente angular estimado do modelo linear.

Passo 2

Breve explicação do que vamos usar (passo-a-passo e sem pular etapas):
  • O modelo linear simples ajustado por mínimos quadrados tem a forma
\hat{y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x,
onde \hat{\beta}_1 é o coeficiente angular (slope) que diz quanto, em média, a variável y varia quando x aumenta uma unidade. Se quisermos a variação de y quando x muda \Delta x, usamos
\Delta \hat{y}=\hat{\beta}_1 \,\Delta x.
  • A fórmula prática para \hat{\beta}_1 (estimador por mínimos quadrados) é
\hat{\beta}_1=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2},
onde \bar{x} e \bar{y} são as médias amostrais:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i.
  • Depois de calcular \hat{\beta}_1, basta substituir \Delta x=-8 (diminuição de 8 euros) em \Delta \hat{y}=\hat{\beta}_1\Delta x para obter a variação prevista em horas.

Passo 3

Calcular as médias amostrais \bar{x} e \bar{y}.
Soma dos rendimentos:
\sum_{i=1}^{12} x_i = 26\,850.
Portanto
\bar{x}=\frac{26\,850}{12}=2237,5.
Soma dos tempos:
\sum_{i=1}^{12} y_i = 62.
Portanto
\bar{y}=\frac{62}{12}=\frac{31}{6}\approx 5,166666\ldots

Passo 4

Calcular os termos necessários para \hat{\beta}_1: \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) e \sum (x_i-\bar{x})^2.
Fazendo cada desvio e produto (mostrando os totais finais; os cálculos intermédios foram feitos item a item a partir dos dados):
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = -625.
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^2 = 6\,770\,625.
(Sugestão rápida para a prova: calcule \bar{x} e \bar{y} primeiro; em seguida, para cada i calcule x_i-\bar{x}, y_i-\bar{y}, o produto e o quadrado do desvio de x; some tudo — aqui os somatórios deram os valores acima.)

Passo 5

Calcular o coeficiente angular \hat{\beta}_1:
\hat{\beta}_1=\frac{-625}{6\,770\,625}=-\frac{1}{10\,833}\approx -0,00009235\\ (\text{horas por euro}).
Interpretação: quando x (Rendimento) aumenta 1 euro, o Tempo previsto y diminui cerca de \,0,00009235 horas; quando x diminui 1 euro, y aumenta esse mesmo valor em horas.
Queremos a variação quando x diminui 8 euros, isto é \Delta x=-8. Logo
\Delta \hat{y}=\hat{\beta}_1\Delta x = -\frac{1}{10\,833}\times(-8)=\frac{8}{10\,833}=\frac{5\,000}{6\,770\,625}\approx 0,0007388\\ \text{horas}.
Converter para unidades mais intuitivas:
0,0007388\\ \text{horas}\times 60 \approx 0,04433\\ \text{minutos}\approx 2,66\\ \text{segundos}.
Portanto, uma diminuição de 8 euros no rendimento traduz-se numa variação muito pequena no tempo: um aumento de aproximadamente 0,000739 horas (cerca de 0,0443 minutos, ou 2{,}66 segundos).

Passo 6

Resumo prático para a prova (dica amiga): calcule \hat{\beta}_1 com a fórmula da soma dos produtos/cuadrados e depois multiplique por \Delta x. Se a variação for pequena como aqui, convém converter horas para minutos ou segundos para ter noção prática.

Resposta

Um aumento de \,0,0007388\\ \text{horas} (aprox. 0,04433 minutos \approx 2,66 segundos).

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