Resolver o sistema usando o método direto de Gauss (eliminação de Gauss).
Classificar o sistema quanto ao número de soluções (única, nenhuma ou infinitas).
Informações relevantes:
São quatro equações e quatro incógnitas X_1,X_2,X_3,X_4.
O método pedido é a eliminação de Gauss (transformar a matriz aumentada em forma triangular por operações elementares de linha).]
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a matriz aumentada do sistema. Organizando as colunas para X_1,X_2,X_3,X_4 e a coluna de termos independentes, a matriz aumentada é
A ideia da eliminação de Gauss é usar operações elementares de linha (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas ou multiplicar uma linha por um escalar não nulo) para obter zeros abaixo dos pivôs, transformando a matriz em forma triangular superior.]
Passo 3
Usar a primeira linha R_1 como pivô para zerar as entradas da coluna 1 nas linhas 2, 3 e 4. Fazemos R_i \leftarrow R_i - R_1 para i=2,3,4.
Agora escolho a linha 2 como pivô para a coluna 2 (o pivô é -1 nesta etapa). Vou eliminar as entradas da coluna 2 nas linhas 3 e 4 fazendo R_3 \leftarrow R_3 - R_2 e R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
Agora usemos a linha 3 como pivô na coluna 3. O pivô atual é -3. Para simplificar, dividimos a linha 3 por -3 (operação permitida) para tornar o pivô igual a 1:
A quarta linha ficou toda zero: isso significa uma equação 0=0, que não gera contradição nem informação adicional. O sistema permanece potencialmente consistente.]
Passo 6
Continuamos a escalonar para remover os coeficientes acima dos pivôs (avanço rumo à forma escalonada reduzida). Usamos R_3 (que tem 1 na coluna 3) para zerar os coeficientes de X_3 nas linhas 1 e 2.
Eliminar em R_2: R_2 \leftarrow R_2 - 1\cdot R_3. R_2=(0,-1,1,1,1)-(0,0,1,0,1)=(0,-1,0,1,0).
Eliminar em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 1\cdot R_3. R_1=(1,2,1,-2,2)-(0,0,1,0,1)=(1,2,0,-2,1).
Com esse pivô, eliminamos o coeficiente da coluna 2 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 2\cdot R_2.
Cálculo: R_1-(2R_2)=(1,2,0,-2,1)-2\cdot(0,1,0,-1,0)=(1,0,0,0,1).
A matriz final escalonada (reduzida até onde precisamos) é
Da segunda linha: X_2 - X_4 = 0, ou seja X_2 = X_4.
Da terceira linha: X_3 = 1.
A quarta linha é 0=0, não dá nova informação.
Temos 4 incógnitas e apenas 3 equações independentes (duas linhas não-nulas além da primeira). Isso significa que X_4 é uma variável livre; vamos chamá-la de parâmetro t\in\mathbb{R}. Então:
Classificação do sistema quanto ao número de soluções: como não houve contradição (nenhuma linha do tipo 0\;0\;0\;0\mid b com b\ne0) e há pelo menos uma variável livre, o sistema é compatível indeterminado — isto é, tem infinitas soluções. O espaço das soluções é uma reta afim parametrizada por t.
Também vale conferir rapidamente substituindo, por exemplo, t=0 (solução particular (1,0,1,0)) nas equações originais para confirmar que satisfaz todas: faz todas as contas fecharam nos passos anteriores, então está consistente.
Resposta
X_1=1\ X_2=t\ X_3=1\ X_4=t\
Sistema compatível indeterminado com infinitas soluções, parametrizadas por t\in\mathbb{R}.