Calcule o determinante da matriz \mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}2 & 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 5 & -1 & 0 \\\\ 1 & -2 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \det(\mathbf{A}), onde
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 3 & 2 \\[6pt] 0 & 5 & -1 & 0 \\[6pt] 1 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo é determinante de matriz 4\times4. Vamos usar a expansão de Laplace ao longo da primeira coluna, pois ela contém dois zeros e simplifica os cálculos.]

Passo 2

Ao expandir por Laplace na primeira coluna, só temos contribuições dos elementos nas posições (1,1) e (4,1). Logo,
\det(\mathbf{A}) = 2 \cdot (-1)^{1+1}\det(M_{11}) + 1 \cdot (-1)^{4+1}\det(M_{41}) = 2\,\det(M_{11}) \;-\;\det(M_{41}),
onde M_{11} é o menor associado a \mathbf{A}_{11} (elimina linha 1 e coluna 1) e M_{41} o menor associado a \mathbf{A}_{41} (elimina linha 4 e coluna 1).

Passo 3

O subdeterminante M_{11} é a matriz
M_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\[4pt] 5 & -1 & 0 \\[4pt] -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicando a regra de Sarrus ou expansão,
\det(M_{11}) = 1\bigl((-1)\cdot1 - 0\cdot1\bigr) -3\bigl(5\cdot1 - 0\cdot(-2)\bigr) +2\bigl(5\cdot1 - (-1)\cdot(-2)\bigr) = -1 -15 +6 = -10.]

Passo 4

O subdeterminante M_{41} é a matriz
M_{41} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 3 & 2 \\[4pt] 5 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Novamente por expansão na primeira linha,
\det(M_{41}) = 3\bigl(3\cdot0 - 2\cdot(-1)\bigr) -1\bigl(1\cdot0 - 2\cdot5\bigr) = 3\cdot2 -1\cdot(-10) = 6 +10 = 16.]

Passo 5

Substituindo em \det(\mathbf{A}) = 2\,\det(M_{11}) - \det(M_{41}), obtemos
\det(\mathbf{A}) = 2\cdot(-10) - 16 = -20 - 16 = -36.

Resposta

\det(\mathbf{A}) = -36

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