Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando.
Se \operatorname{det} \mathbf{A}=0 então o sistema de equações \mathbf{A X}=\mathbf{B} não terá soluções.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação “se \det A = 0 então o sistema A X = B não terá soluções” é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares e determinante de matriz.

Passo 2

Sabemos que, para uma matriz quadrada A de ordem n:
\det A \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A\text{ é invertível} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{o sistema }A X = B\text{ tem solução única.}éíçãú

Passo 3

O contrarrecíproco dessa equivalência é:
\det A = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A\text{ é singular (não invertível)},éãí
logo o sistema A X = B ou não tem solução ou tem infinitas soluções, dependendo de B. Não se pode afirmar que ele sempre “não terá solução”.

Passo 4

Contraexemplo: seja
A = \begin{pmatrix}0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0\end{pmatrix}.
Então \det A=0, mas o sistema
\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}x = \begin{pmatrix}0\end{pmatrix}
tem infinitas soluções (qualquer x\in\mathbb{R} resolve). Isso mostra que a afirmação original é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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