Calcule o determinante da matriz seguinte usando operações elementares para transformála em uma matriz triangular superior.
\left[\begin{array}{llll} 1 & 3 & 9 & 7 \\\\ 2 & 3 & 2 & 5 \\\\ 0 & 3 & 4 & 1 \\\\ 4 & 6 & 9 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz
A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 7 \\\\ 2 & 3 & 2 & 5 \\\\ 0 & 3 & 4 & 1 \\\\ 4 & 6 & 9 & 1 \end{bmatrix}
usando operações elementares para transformá-la em uma matriz triangular superior. Informações dadas:
  • A matriz A é 4\times4.
  • É pedido o valor numérico de \det(A).

Passo 2

Relembrando regras úteis sobre operações elementares e o determinante (é importante saber isso para acompanhar cada operação):
  • Trocar duas linhas altera o sinal do determinante: se B é obtida trocando duas linhas de A, então \det(B)=-\det(A).
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k: se B é obtida multiplicando uma linha de A por k, então \det(B)=k\det(A).
  • Somar a um linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante: se B é obtida substituindo uma linha por ela mais c vezes outra linha, então \det(B)=\det(A).
Vamos usar apenas operações do terceiro tipo (adição de múltiplos) quando possível, porque elas não mudam o determinante e facilitam chegar numa matriz triangular superior.

Passo 3

Começamos eliminando os elementos abaixo do pivô \,a_{11}=1. Usamos:
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1,\qquad L_4 \leftarrow L_4 - 4L_1.
Essas operações não mudam o determinante. Calculando cada linha:
  • L_2: (2,3,2,5) - 2(1,3,9,7) = (0,-3,-16,-9).
  • L_4: (4,6,9,1) - 4(1,3,9,7) = (0,-6,-27,-27).
A matriz passa a ser
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 7 \\\\ 0 & -3 & -16 & -9 \\\\ 0 & 3 & 4 & 1 \\\\ 0 & -6 & -27 & -27 \end{bmatrix},
e \det continua o mesmo que o de A.

Passo 4

Agora usamos o pivô \,a_{22}=-3 para zerar o elemento da linha 3 na segunda coluna e também o da linha 4 (já está relacionado). Aplicamos:
L_3 \leftarrow L_3 + L_2,\qquad L_4 \leftarrow L_4 - 2L_2.
São operações do tipo “somar múltiplo de outra linha”, portanto o determinante continua inalterado.
Calculando:
  • L_3: (0,3,4,1) + (0,-3,-16,-9) = (0,0,-12,-8).
  • L_4: (0,-6,-27,-27) - 2(0,-3,-16,-9) = (0,0,5,-9).
A matriz fica
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 7 \\\\ 0 & -3 & -16 & -9 \\\\ 0 & 0 & -12 & -8 \\\\ 0 & 0 & 5 & -9 \end{bmatrix},
ainda com \det igual ao de A.

Passo 5

Falta zerar o elemento 5 em posição (4,3) para obter triangular superior. Usamos o pivô a_{33}=-12 e aplicamos:
L_4 \leftarrow L_4 + \frac{5}{12}L_3.
Essa é também uma operação do tipo “somar múltiplo de outra linha”, então não altera o determinante. Calculando:
  • Terceira coluna de L_4: 5 + \frac{5}{12}\cdot(-12) = 5 -5 = 0.
  • Quarta coluna de L_4: -9 + \frac{5}{12}\cdot(-8) = -9 - \frac{40}{12} = -9 - \frac{10}{3} = -\frac{37}{3}.
A matriz triangular superior resultante é
U=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 9 & 7 \\\\ 0 & -3 & -16 & -9 \\\\ 0 & 0 & -12 & -8 \\\\ 0 & 0 & 0 & -\tfrac{37}{3} \end{bmatrix},
e \det(U)=\det(A) pois só foram usadas operações que preservam o determinante.

Passo 6

Para uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Logo
\det(A)=\det(U)=1\cdot(-3)\cdot(-12)\cdot\bigl(-\tfrac{37}{3}\bigr).
Vamos simplificar passo a passo:
(-3)\cdot\bigl(-\tfrac{37}{3}\bigr)=37,
portanto
\det(A)=1\cdot(-12)\cdot 37 = -12\cdot 37 = -444.

Passo 7

(Verificação rápida extra — opcional) É possível conferir o resultado expandindo pelo primeiro coluna; esse cálculo dá o mesmo valor -444, confirmando que não houve erro nas operações.

Resposta

-444

Exercícios relacionados