Determine todos os valores de
para os quais
, em que:
Passo 1
O problema pede: determinar todos os valores de
para os quais
onde foi dado
Informações relevantes fornecidas:
- A é uma matriz
. - A incógnita é
e precisamos achar os valores que anulam o determinante . - Não há outras informações adicionais; tudo que precisamos está na matriz acima.]
Passo 2
Primeiro formamos
. Escrevendo elemento a elemento:
Agora vamos calcular o determinante desta matriz (isto gera o polinômio característico em
).]
Passo 3
Usamos a expansão do determinante pela primeira linha. Assim
Calculamos cada menor 2×2 separadamente:
- Primeiro menor:
Expandindo
:
portanto o menor vale
- Segundo menor:
- Terceiro menor:
Passo 4
Substituindo os menores na expansão do determinante:
Expandimos termo a termo.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:
Multiplicando por
(para obter coeficiente líder positivo) obtemos o polinômio característico na forma usual:
Passo 5
Agora precisamos achar as raízes do polinômio
Pela regra dos divisores do termo constante (possíveis raízes racionais
) testamos valores inteiros simples.
Testando
:
Portanto
é raiz. Fazemos a divisão de
por
(divisão sintética ou longa).
Dividindo, obtemos o quociente
Fatorando este quadrático:
Assim a fatoração completa do polinômio é
Passo 6
As soluções de
são exatamente as raízes deste polinômio, ou seja os valores de
que anulam cada fator.
Portanto os valores são
,
e
. Cada um aparece com multiplicidade
.