Determine todos os valores de \lambda para os quais \operatorname{det}\left(A-\lambda I_{n}\right)=0, em que:
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O problema pede: determinar todos os valores de \lambda para os quais
\det\bigl(A-\lambda I_{n}\bigr)=0,
onde foi dado
A=\begin{pmatrix}2 & 2 & 3 \\[4pt] 1 & 2 & 1 \\[4pt] 2 & -2 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é uma matriz 3\times3.
  • A incógnita é \lambda e precisamos achar os valores que anulam o determinante \det(A-\lambda I_3).
  • Não há outras informações adicionais; tudo que precisamos está na matriz acima.]

Passo 2

Primeiro formamos A-\lambda I_3. Escrevendo elemento a elemento:
A-\lambda I_3=\begin{pmatrix}2-\lambda & 2 & 3 \\[4pt] 1 & 2-\lambda & 1 \\[4pt] 2 & -2 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Agora vamos calcular o determinante desta matriz (isto gera o polinômio característico em \lambda).]

Passo 3

Usamos a expansão do determinante pela primeira linha. Assim
\begin{aligned} \det(A-\lambda I_3) &=(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[4pt] -2 & 1-\lambda\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} +3\det\begin{pmatrix}1 & 2-\lambda \\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix}. \end{aligned}
Calculamos cada menor 2×2 separadamente:
  1. Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[4pt] -2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(1-\lambda)-1\cdot(-2) =(2-\lambda)(1-\lambda)+2.
Expandindo (2-\lambda)(1-\lambda):
(2-\lambda)(1-\lambda)=2-3\lambda+\lambda^2,
portanto o menor vale
2-3\lambda+\lambda^2+2=\lambda^2-3\lambda+4.
  1. Segundo menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =1\cdot(1-\lambda)-1\cdot2=1-\lambda-2=-1-\lambda.
  1. Terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 2-\lambda \\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix} =1\cdot(-2)-(2-\lambda)\cdot 2=-2-4+2\lambda=-6+2\lambda.]

Passo 4

Substituindo os menores na expansão do determinante:
\begin{aligned} \det(A-\lambda I_3) &=(2-\lambda)\bigl(\lambda^2-3\lambda+4\bigr)-2(-1-\lambda)+3(-6+2\lambda). \end{aligned}
Expandimos termo a termo.
Primeiro termo:
(2-\lambda)(\lambda^2-3\lambda+4) =2\lambda^2-6\lambda+8-\lambda^3+3\lambda^2-4\lambda =-\lambda^3+5\lambda^2-10\lambda+8.
Segundo termo:
-2(-1-\lambda)=2+2\lambda.
Terceiro termo:
3(-6+2\lambda)=-18+6\lambda.
Somando tudo:
\det(A-\lambda I_3)=-\lambda^3+5\lambda^2-10\lambda+8+2+2\lambda-18+6\lambda.
Agrupando termos semelhantes:
\det(A-\lambda I_3)=-\lambda^3+5\lambda^2-2\lambda-8.
Multiplicando por -1 (para obter coeficiente líder positivo) obtemos o polinômio característico na forma usual:
\lambda^3-5\lambda^2+2\lambda+8=0.

Passo 5

Agora precisamos achar as raízes do polinômio
p(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2+2\lambda+8.
Pela regra dos divisores do termo constante (possíveis raízes racionais \pm1,\pm2,\pm4,\pm8) testamos valores inteiros simples.
Testando \lambda=2:
p(2)=2^3-5\cdot2^2+2\cdot2+8=8-20+4+8=0.
Portanto \lambda=2 é raiz. Fazemos a divisão de p(\lambda) por (\lambda-2) (divisão sintética ou longa).
Dividindo, obtemos o quociente
\lambda^2-3\lambda-4.
Fatorando este quadrático:
\lambda^2-3\lambda-4=(\lambda-4)(\lambda+1).
Assim a fatoração completa do polinômio é
\lambda^3-5\lambda^2+2\lambda+8=(\lambda-2)(\lambda-4)(\lambda+1).

Passo 6

As soluções de \det(A-\lambda I_3)=0 são exatamente as raízes deste polinômio, ou seja os valores de \lambda que anulam cada fator.
Portanto os valores são \lambda=2, \lambda=4 e \lambda=-1. Cada um aparece com multiplicidade 1.

Resposta

\lambda=2
\lambda=4
\lambda=-1

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