Determine todos os valores de \lambda para os quais \operatorname{det}\left(A-\lambda I_{n}\right)=0, em que:
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 3 & -2 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de \lambda tais que
\det\bigl(A-\lambda I_{n}\bigr)=0,
onde foi dada a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -2 & 3 \\[4pt] 0 & 3 & -2 \\[4pt] 0 & -1 & 2\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é uma matriz 3\times3 com entradas explícitas mostradas acima.
  • É necessário encontrar todos os valores escalares \lambda (os autovalores) que tornam o determinante de A-\lambda I_{3} igual a zero.]

Passo 2

Primeiro escrevemos explicitamente a matriz A-\lambda I_{3}. Subtrair \lambda na diagonal significa:
A-\lambda I_{3}=\begin{pmatrix}2-\lambda & -2 & 3 \\[4pt] 0 & 3-\lambda & -2 \\[4pt] 0 & -1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para calcular \det\bigl(A-\lambda I_{3}\bigr) usamos a expansão de Laplace (cofatores) pela primeira coluna. A vantagem aqui é que os dois elementos abaixo do primeiro na primeira coluna são zero, então a expansão fica muito simples. Lembrando que, pela definição, a expansão pela primeira coluna é
\det(M)=\sum_{i=1}^{3}(-1)^{i+1}m_{i1}\det(M_{i1}),
onde m_{i1} são os elementos da primeira coluna e M_{i1} são os menores correspondentes. Como m_{21}=0 e m_{31}=0, só sobra o termo i=1. Portanto
\det\bigl(A-\lambda I_{3}\bigr)=(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -2 \\[4pt] -1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos o determinante do 2\times2. Para uma matriz \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} vale \det=\;ad-bc. Aplicando aqui:
\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -2 \\[4pt] -1 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(2-\lambda)-(-2)(-1).
Desenvolvendo passo a passo:
(3-\lambda)(2-\lambda)=6-3\lambda-2\lambda+\lambda^{2}=\lambda^{2}-5\lambda+6,
e
(-2)(-1)=2.
Logo
(3-\lambda)(2-\lambda)-(-2)(-1)=\bigl(\lambda^{2}-5\lambda+6\bigr)-2=\lambda^{2}-5\lambda+4.]

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do determinante total:
\det\bigl(A-\lambda I_{3}\bigr)=(2-\lambda)\bigl(\lambda^{2}-5\lambda+4\bigr).
Fatoramos o polinômio quadrático \lambda^{2}-5\lambda+4. Procurando raízes inteiras, notamos que 1 e 4 funcionam porque 1+4=5 e 1\cdot4=4. Assim
\lambda^{2}-5\lambda+4=(\lambda-1)(\lambda-4).
Portanto
\det\bigl(A-\lambda I_{3}\bigr)=(2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-4).

Passo 6

Os valores de \lambda que anulam o determinante são as raízes do produto acima, ou seja, os valores que tornam algum dos fatores zero. Assim os valores procurados são \lambda=2, \lambda=1 e \lambda=4. Observação final: são três autovalores distintos (cada um de multiplicidade algébrica 1).

Resposta

1
2
4

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