Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante de várias matrizes: , , , e . O determinante é uma função que associa um número a cada matriz quadrada e é super útil em várias áreas da matemática, como na resolução de sistemas lineares e na verificação se uma matriz é invertível. Para encontrar o determinante, vamos usar métodos como a regra de Sarrus para matrizes 3x3 e a expansão de Laplace para matrizes maiores. Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar calculando o determinante da matriz M = 1 & 2 & 2 1 & 1 & 2 0 & 0 & 2 :
Como 1 & 2 0 & 2 = (1)(2) - (2)(0) = 2 é uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofactores. Vou usar a expansão por cofactores na primeira linha.
O determinante de 1 & 2 0 & 2 = 2 (mesmo menor) é:
Continuando com a eliminação, vamos focar na segunda coluna. Multiplique a segunda linha por para facilitar:
Agora, zeramos os elementos abaixo da segunda coluna usando :
Continuando esse processo até obter uma matriz triangular, o que simplifica o cálculo do determinante. Após várias operações (detalhadas para brevidade), encontramos que:
Isso acontece porque a matriz possui linhas linearmente dependentes, o que torna o determinante igual a zero.