Para um polinômio
; onde
é uma variável. Para
definimos
como sendo a
Considere
e
uma matriz idempotente em
. Prove que, se
(matriz nula), então vale que
.
Considere
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um polinômio
e uma matriz
que é idempotente, ou seja,
. A gente precisa mostrar que, se
é a matriz nula (toda zerada), então o valor de
tem que ser igual a zero. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre polinômios de matrizes e propriedades de matrizes idempotentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que substituímos
por
no polinômio e o resultado é a matriz nula. Então:
Onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Sabemos que a matriz
é idempotente, ou seja,
. Vamos substituir isso na equação que obtivemos:
Passo 4
Simplificando a equação:
Então, a matriz
é a matriz nula.
Passo 5
A matriz identidade
tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela. Multiplicando por
, temos uma matriz onde todos os elementos da diagonal principal são
e os outros são 0. Para que
seja a matriz nula, cada elemento da diagonal principal deve ser zero:
Resposta
Portanto,
tem que ser igual a zero.