Para um polinômio p(x)=a0+a1 x+a2 x^2+cdots+an x^n; onde x é uma variável. Para A in Mn(R) definimos p(A)=a0 In+a1 A+a2 A^2+cdots+an A^n como sendo a
Considere p(x)=a+x-x^2 e A uma matriz idempotente em Mn(R). Prove que, se p(A)=O (matriz nula), então vale que a=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um polinômio e uma matriz que é idempotente, ou seja, . A gente precisa mostrar que, se é a matriz nula (toda zerada), então o valor de tem que ser igual a zero. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre polinômios de matrizes e propriedades de matrizes idempotentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa p(A) = aI + A - A^2 = O . Isso quer dizer que substituímos por no polinômio e o resultado é a matriz nula. Então:
Onde é a matriz identidade.

Passo 3

Sabemos que a matriz aI + A - A = O é idempotente, ou seja, . Vamos substituir isso na equação que obtivemos:

Passo 4

Simplificando a equação:
aI + (A - A) = aI + 0 = aI = O
Então, a matriz é a matriz nula.

Passo 5

A matriz identidade a = 0 tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela. Multiplicando por , temos uma matriz onde todos os elementos da diagonal principal são e os outros são 0. Para que seja a matriz nula, cada elemento da diagonal principal deve ser zero:

Resposta

Portanto, tem que ser igual a zero.

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