Calcule o determinante das matrizes a seguir, explique os passos.
\boldsymbol{H}=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 4 \\\\ 1 & 5 & 6\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
\boldsymbol{H}=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 4 \\[4pt] 1 & 5 & 6\end{pmatrix}.
Informações dadas: os nove elementos da matriz são conhecidos e quer-se o valor de \det(\boldsymbol{H}). Não há outras partes no enunciado.]

Passo 2

Antes de calcular, vamos rever a definição e a técnica que usaremos (expansão por cofatores):
  • Para uma matriz 2\times2 qualquer \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, o determinante é \det=\;ad-bc. Isso é a fórmula básica que usaremos ao calcular menores 2\times2.
  • Para uma matriz 3\times3 podemos calcular o determinante expandindo por uma linha (ou coluna). Se denotarmos os elementos por a_{ij} (linha i, coluna j), então a expansão pela primeira linha é
\det(\boldsymbol{H})=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j} é o cofator relativo ao elemento a_{1j} e M_{1j} é o menor, isto é, o determinante da submatriz 2\times2 que sobra ao eliminar a linha 1 e a coluna j.
  • Observação prática: se algum a_{1j}=0, sua contribuição é zero e economizamos trabalho — aqui a_{13}=0, o que facilita.

Passo 3

Identificamos os elementos da matriz (vou escrever cada um em notação a_{ij}):
a_{11}=-1,\qquad a_{12}=1,\qquad a_{13}=0,
a_{21}=2,\qquad a_{22}=1,\qquad a_{23}=4,
a_{31}=1,\qquad a_{32}=5,\qquad a_{33}=6.

Passo 4

Calcular os menores M_{1j} e os cofatores C_{1j} para a primeira linha.
  • Para j=1: o menor M_{11} é o determinante da submatriz obtida retirando linha 1 e coluna 1:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 5 & 6\end{pmatrix}=1\cdot6-4\cdot5=6-20=-14.
O cofator
C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot(-14)=-14.
  • Para j=2: o menor M_{12} é o determinante da submatriz obtida retirando linha 1 e coluna 2:
M_{12}=\det\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 1 & 6\end{pmatrix}=2\cdot6-4\cdot1=12-4=8.
O cofator
C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot8=-8.
  • Para j=3: o menor M_{13} é o determinante da submatriz obtida retirando linha 1 e coluna 3:
M_{13}=\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 5\end{pmatrix}=2\cdot5-1\cdot1=10-1=9.
O cofator
C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=1\cdot9=9.
(Nota: como a_{13}=0, a última contribuição será zero.)]

Passo 5

Aplicando a expansão por cofatores na primeira linha:
\det(\boldsymbol{H})=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}.
Substituindo os valores que encontramos:
\det(\boldsymbol{H}) = (-1)\cdot(-14) + 1\cdot(-8) + 0\cdot9.
Agora fazemos as multiplicações:
(-1)\cdot(-14)=14,\qquad 1\cdot(-8)=-8,\qquad 0\cdot9=0.
Somando:
\det(\boldsymbol{H})=14-8+0=6.

Passo 6

Cheque rápido usando a regra de Sarrus (apenas para confirmar; não é obrigatório): para \boldsymbol{H}=(a_{ij}),
\det(\boldsymbol{H})=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}).
Substituindo os a_{ij} dados obtém-se também \det(\boldsymbol{H})=6, confirmando o resultado.

Resposta

6

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