Calcule o determinante das matrizes a seguir, explique os passos.
\boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lll}2 & 4 & 7 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz \boldsymbol{D}. A matriz fornecida é
\boldsymbol{D}=\begin{pmatrix}2 & 4 & 7 \\[4pt] 0 & 0 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Informações importantes dadas:
  • Elementos da primeira linha: \,2,\,4,\,7\,.
  • Elementos da segunda linha: \,0,\,0,\,3\,.
  • Elementos da terceira linha: \,0,\,0,\,1\,.
  • O que se pede: calcular \det(\boldsymbol{D}).]

Passo 2

Vamos aprender um fato muito útil e simples: se uma matriz é triangular (ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros, no caso de uma matriz superior triangular), então o determinante dessa matriz é o produto dos elementos da diagonal principal.
Explicação do porquê (intuição formal por indução e expansão de Laplace):
Primeiro escrevemos a fórmula da expansão de Laplace ao longo da primeira coluna para uma matriz n\times n:
\det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det(M_{i1}),
onde a_{i1} é o elemento da i-ésima linha e primeira coluna e M_{i1} é o menor obtido removendo a linha i e a coluna 1.
Se a matriz for superior triangular, então todos os a_{i1} com i\ge2 são zero. Assim a soma acima reduz-se a
\det(A)=a_{11}\det(M_{11}).
O menor M_{11} é novamente uma matriz superior triangular de ordem n-1, então pelo mesmo argumento vale \det(M_{11})=a_{22}\det(M_{22}), e assim por diante. Repetindo por indução obtém-se
\det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn},
ou seja, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Aplicando esse fato à matriz dada: observamos que \boldsymbol{D} é superior triangular porque os elementos abaixo da diagonal são zeros ( d_{21}=0,\\ d_{31}=0,\\ d_{32}=0). Portanto podemos calcular o determinante como produto dos elementos da diagonal:
\det(\boldsymbol{D})=2\cdot 0\cdot 1.
Fazendo a multiplicação:
2\cdot 0\cdot 1=0.

Passo 4

Para fixar bem (e mostrar outra via, caso queiras usar em prova), vamos calcular \det(\boldsymbol{D}) também fazendo a expansão de Laplace ao longo da primeira coluna — aqui há muitos zeros, o que facilita:
A expansão ao longo da primeira coluna dá
\det(\boldsymbol{D})=2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 3 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots)+0\cdot(\cdots).
Calculamos o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}0 & 3 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=0\cdot 1-3\cdot 0=0.
Logo
\det(\boldsymbol{D})=2\cdot 0=0.]

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo: o determinante sendo \,0 significa que a matriz é singular (não tem inversa). Isso é algo útil de lembrar na prova: se algum elemento da diagonal for zero em uma matriz triangular, o determinante será zero imediatamente — poupa tempo!

Resposta

\det(\boldsymbol{D})=0

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