Calcule o determinante das matrizes a seguir, explique os passos.
\boldsymbol{I}=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 0 \\\\ -1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 3 & 2\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz I. A matriz dada é
I=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A matriz é 3\times3.
  • Os elementos são os mostrados acima (cada entrada está especificada).]

Passo 2

Vamos lembrar uma regra prática para determinantes de matrizes 3\times3: a expansão por cofactores (também chamada de Laplace) ao longo da primeira linha. A fórmula geral para a primeira linha é
\det(A)=\sum_{j=1}^{3}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(M_{1j}),
onde:
  • a_{1j} é o elemento da primeira linha e coluna j da matriz A;
  • M_{1j} é a submatriz (menor) que sobra ao eliminar a primeira linha e a coluna j;
  • (-1)^{1+j} é o sinal do cofactor (para a primeira linha os sinais são +,-,+ para j=1,2,3).
Também é útil saber a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2:
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc,
que usaremos para calcular os menores 2\times2.
Escolhemos expandir pela primeira linha porque a entrada a_{13}=0 simplifica a conta (um dos termos da soma será zero).]

Passo 3

Identificamos os elementos da primeira linha:
a_{11}=1,\qquad a_{12}=-1,\qquad a_{13}=0.
Agora escrevemos os menores correspondentes:
  • Para a_{11} (eliminando linha 1 e coluna 1):
M_{11}=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}.
  • Para a_{12} (eliminando linha 1 e coluna 2):
M_{12}=\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
  • Para a_{13} (eliminando linha 1 e coluna 3):
M_{13}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula da expansão pela primeira linha:
\det(I)=a_{11}\det(M_{11})-a_{12}\det(M_{12})+a_{13}\det(M_{13}).
Observação: o sinal do segundo termo é negativo porque (-1)^{1+2}=-1.]

Passo 4

Calculamos os determinantes dos menores 2\times2 usando \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Para M_{11}:
\det(M_{11})=1\cdot2-3\cdot3=2-9=-7.
Para M_{12}:
\det(M_{12})=(-1)\cdot2-3\cdot0=-2-0=-2.
Para M_{13} (valor será multiplicado por a_{13}=0, mas calculamos para completar):
\det(M_{13})=(-1)\cdot3-1\cdot0=-3-0=-3.
Agora substituímos na expansão:
\det(I)=1\cdot(-7)-(-1)\cdot(-2)+0\cdot(-3).
Calcule passo a passo:
1\cdot(-7)=-7,
-(-1)\cdot(-2)=-( ( -1)\cdot(-2) )=-(2)=-2.
Somando:
\det(I)=-7-2+0=-9.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, só para conferir): usar operações elementares em linhas que não mudam o determinante para simplificar a matriz. Propriedade usada: substituir uma linha por ela mais um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Somando a primeira linha à segunda: R_2 \leftarrow R_2+R_1. A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
Agora expandindo pelo primeiro elemento da primeira coluna (já que os outros dois elementos na coluna ficaram 0):
\det(I)=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}=1\cdot(0\cdot2-3\cdot3)= -9,
confirmando o resultado anterior.]

Resposta

-9

Exercícios relacionados