Calcule o determinante das matrizes a seguir, explique os passos.
,
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o determinante da matriz
. A matriz fornecida é
Informações dadas (peguei os elementos diretamente do enunciado):
- Primeira linha:
. - Segunda linha:
. - Terceira linha:
.
O que se pede: calcular .]
Passo 2
Conceito que vou usar (expansão de Laplace por cofatores):
- Para uma matriz
com entradas , o determinante pode ser obtido por expansão ao longo de uma coluna (ou linha):
onde
é o cofator e
é o determinante da submatriz obtida ao remover a linha
e a coluna
(chamado menor).
- Para uma matriz
, o determinante é . Isso será usado ao calcular os menores .
Passo 3
Escolha da coluna para expandir: vou expandir ao longo da primeira coluna (
) porque nela há um zero (
), o que simplifica os cálculos. Assim
Passo 4
Calcular o termo correspondente a
.
- Removendo a linha 1 e coluna 1, o menor
é a matriz
- O determinante desse menor é
- O cofator é
- Contribuição para o determinante:
Passo 5
Calcular o termo correspondente a
.
- Como
, a contribuição é zero, independentemente do cofator. Portanto não é necessário calcular .
Passo 6
Calcular o termo correspondente a
.
- Removendo a linha 3 e coluna 1, o menor
é a matriz
- O determinante desse menor é
- O cofator é
- Contribuição para o determinante:
Passo 7
Somando as contribuições das três entradas da primeira coluna:
Passo 8
(verificação alternativa rápida por operações elementares de linha)
- Trocar
com inverte o sinal do determinante. Após a troca obtém-se
então
.
- Fazer
(não altera o determinante) dá
- Fazer
(não altera o determinante) dá matriz triangular
- Determinante da triangular é produto dos elementos da diagonal:
. Lembrando da troca inicial de linhas (que inverteu sinal), tem-se , confirmando o resultado anterior.]
Resposta
2