Calcule o determinante das matrizes a seguir, explique os passos.
\boldsymbol{K}=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 6 \\\\ 0 & 2 & 4 \\\\ 1 & 2 & -3\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o determinante da matriz \boldsymbol{K}. A matriz fornecida é
\boldsymbol{K}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 6 \\[4pt] 0 & 2 & 4 \\[4pt] 1 & 2 & -3\end{bmatrix}.
Informações dadas (peguei os elementos diretamente do enunciado):
  • Primeira linha: -1,\;0,\;6.
  • Segunda linha: 0,\;2,\;4.
  • Terceira linha: 1,\;2,\;-3.
    O que se pede: calcular \det(\boldsymbol{K}).]

Passo 2

Conceito que vou usar (expansão de Laplace por cofatores):
  • Para uma matriz 3\times3 com entradas a_{ij}, o determinante pode ser obtido por expansão ao longo de uma coluna (ou linha):
\det(\boldsymbol{K})=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} é o cofator e M_{ij} é o determinante da submatriz obtida ao remover a linha i e a coluna j (chamado menor).
  • Para uma matriz 2\times2 \begin{bmatrix}p & q \\\ r & s\end{bmatrix}, o determinante é ps-qr. Isso será usado ao calcular os menores M_{ij}.

Passo 3

Escolha da coluna para expandir: vou expandir ao longo da primeira coluna ( j=1) porque nela há um zero ( a_{21}=0), o que simplifica os cálculos. Assim
\det(\boldsymbol{K})=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}.

Passo 4

Calcular o termo correspondente a a_{11}=-1.
  • Removendo a linha 1 e coluna 1, o menor M_{11} é a matriz 2\times2
\begin{bmatrix}2 & 4 \\[4pt] 2 & -3\end{bmatrix}.
  • O determinante desse menor é
M_{11}=2\cdot(-3)-4\cdot2=-6-8=-14.
  • O cofator é
C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot(-14)=-14.
  • Contribuição para o determinante:
a_{11}C_{11}=(-1)\cdot(-14)=14.]

Passo 5

Calcular o termo correspondente a a_{21}=0.
  • Como a_{21}=0, a contribuição a_{21}C_{21} é zero, independentemente do cofator. Portanto não é necessário calcular M_{21}.

Passo 6

Calcular o termo correspondente a a_{31}=1.
  • Removendo a linha 3 e coluna 1, o menor M_{31} é a matriz 2\times2
\begin{bmatrix}0 & 6 \\[4pt] 2 & 4\end{bmatrix}.
  • O determinante desse menor é
M_{31}=0\cdot4-6\cdot2=0-12=-12.
  • O cofator é
C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=1\cdot(-12)=-12.
  • Contribuição para o determinante:
a_{31}C_{31}=1\cdot(-12)=-12.]

Passo 7

Somando as contribuições das três entradas da primeira coluna:
\det(\boldsymbol{K})=14+0+(-12)=2.

Passo 8

(verificação alternativa rápida por operações elementares de linha)
  • Trocar \text{R}_1 com \text{R}_3 inverte o sinal do determinante. Após a troca obtém-se
\begin{bmatrix}1 & 2 & -3 \\[4pt] 0 & 2 & 4 \\[4pt] -1 & 0 & 6\end{bmatrix},
então \det(\text{nova})=-\det(\boldsymbol{K}).
  • Fazer \text{R}_3\leftarrow\text{R}_3+\text{R}_1 (não altera o determinante) dá
\begin{bmatrix}1 & 2 & -3 \\[4pt] 0 & 2 & 4 \\[4pt] 0 & 2 & 3\end{bmatrix}.
  • Fazer \text{R}_3\leftarrow\text{R}_3-\text{R}_2 (não altera o determinante) dá matriz triangular
\begin{bmatrix}1 & 2 & -3 \\[4pt] 0 & 2 & 4 \\[4pt] 0 & 0 & -1\end{bmatrix}.
  • Determinante da triangular é produto dos elementos da diagonal: 1\cdot2\cdot(-1)=-2. Lembrando da troca inicial de linhas (que inverteu sinal), tem-se \det(\boldsymbol{K})=-(-2)=2, confirmando o resultado anterior.]

Resposta

2

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