Calcule o determinante das seguintes matrizes:
\left( \begin{array}{ccc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 3\times3
A=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \\[4pt] \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} \\[4pt] \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{5} \end{pmatrix}.
Informações dadas (listei cada entrada para não nos confundirmos):
a_{11}=1,\quad a_{12}=\dfrac{1}{2},\quad a_{13}=\dfrac{1}{3},
a_{21}=\dfrac{1}{2},\quad a_{22}=\dfrac{1}{3},\quad a_{23}=\dfrac{1}{4},
a_{31}=\dfrac{1}{3},\quad a_{32}=\dfrac{1}{4},\quad a_{33}=\dfrac{1}{5}.
A pergunta é única: encontrar \det(A).]

Passo 2

Escolha do método: como é uma matriz 3\times3, o método mais direto e rápido é usar a fórmula explícita do determinante para matrizes 3\times3 (expansão que é equivalente à regra de Sarrus). É um método que exige só operações com frações e pouco cálculo mental, ideal para prova sem pular etapas.

Passo 3

Apresento a fórmula do determinante para uma matriz 3\times3. Para uma matriz com entradas a_{ij},
\det(A)=a_{11}\bigl(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\bigr)-a_{12}\bigl(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\bigr)+a_{13}\bigl(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\bigr).
Explicando cada símbolo: a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j. Cada expressão entre parênteses é um determinante 2\times2 (chamado menor) e calculamos produtos e diferenças de frações.

Passo 4

Vou calcular cada menor (os parênteses da fórmula) um a um, substituindo os valores listados no Passo 1.
Primeiro menor (associado a a_{11}):
M_{11}=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}.
Faço as multiplicações:
\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{15},\qquad \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{16}.
Agora a subtração de frações: para \dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{16} uso denominador comum 240:
\dfrac{1}{15}=\dfrac{16}{240},\qquad \dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{240},
logo
M_{11}=\dfrac{16-15}{240}=\dfrac{1}{240}.

Passo 5

Segundo menor (associado a a_{12}):
M_{12}=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{3}.
Multiplico:
\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{10},\qquad \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{12}.
Subtraio \dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{12}. Denominador comum 60:
\dfrac{1}{10}=\dfrac{6}{60},\qquad \dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{60},
portanto
M_{12}=\dfrac{6-5}{60}=\dfrac{1}{60}.

Passo 6

Terceiro menor (associado a a_{13}):
M_{13}=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}.
Multiplico:
\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8},\qquad \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}.
Subtraio \dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}. Denominador comum 72:
\dfrac{1}{8}=\dfrac{9}{72},\qquad \dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{72},
logo
M_{13}=\dfrac{9-8}{72}=\dfrac{1}{72}.

Passo 7

Agora uso a fórmula do Passo 3 com os menores calculados:
\det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}.
Substituo os valores:
\det(A)=1\cdot\dfrac{1}{240}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{72}.
Calculo cada produto:
1\cdot\dfrac{1}{240}=\dfrac{1}{240},\qquad \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{60}=\dfrac{1}{120},\qquad \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{72}=\dfrac{1}{216}.
Portanto
\det(A)=\dfrac{1}{240}-\dfrac{1}{120}+\dfrac{1}{216}.

Passo 8

Para somar/subtrair essas três frações encontro um denominador comum. Vou achar o mínimo múltiplo comum (MMC) de 240, 120 e 216.
Fatorando:
240=2^{4}\cdot3\cdot5,\quad 120=2^{3}\cdot3\cdot5,\quad 216=2^{3}\cdot3^{3}.
MMC deve ter 2^{4} (maior potência de 2), 3^{3} (maior potência de 3) e 5, então
\mathrm{MMC}=2^{4}\cdot3^{3}\cdot5=16\cdot27\cdot5=2160.
Converto cada fração para denominador 2160:
\dfrac{1}{240}=\dfrac{9}{2160},\qquad \dfrac{1}{120}=\dfrac{18}{2160},\qquad \dfrac{1}{216}=\dfrac{10}{2160}.
Agora somo/subtraio numeradores:
\det(A)=\dfrac{9-18+10}{2160}=\dfrac{1}{2160}.

Resposta

\dfrac{1}{2160}

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