Determine se os seguintes três vetores do \mathbb{R}^{3} são coplanares ou não (paralelos a um mesmo plano ou não) pelos seguintes métodos.
\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 2 \end{array}\right)
Veja se um vetor é combinação dos outros.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3 e pede para decidir se eles são coplanares (isto é, se estão todos em um mesmo plano que passa pela origem). Os vetores fornecidos são:
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad v_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
A pergunta que vamos responder: “Os três vetores são coplanares ou não?” O enunciado sugere verificar se um vetor é combinação linear dos outros dois (ou seja, se existe um vetor entre eles que pode ser escrito como combinação dos outros dois).]

Passo 2

O que significa “um vetor é combinação linear dos outros dois”? Vou explicar com calma: dizer que v_3 é combinação linear de v_1 e v_2 significa que existem escalares a e b (números reais) tais que
a\,v_1 + b\,v_2 = v_3.
Aqui a e b são as incógnitas que estamos tentando encontrar. Se tais a,b existirem, então v_1,v_2,v_3 estão no mesmo plano (são coplanares). Se não existir nenhuma escolha de a,b que satisfaça essa igualdade, então v_3 não é combinação dos outros dois. O mesmo raciocínio pode ser feito tentando escrever v_1 como combinação de v_2,v_3 ou v_2 como combinação de v_1,v_3. Em \mathbb{R}^3, três vetores são coplanares se, e só se, um deles for combinação linear dos outros dois.

Passo 3

Vamos tentar escrever v_3\) como combinação de \(v_1\) e \(v_2\). Procuramos \(s,t\in\mathbb{R}\) tais que \[s\,v_1 + t\,v_2 = v_3.
Escrevendo coordenada a coordenada isso dá o sistema (cada linha corresponde a uma coordenada x,y,z):
\begin{cases} s + t = 1,\\[4pt] s + 2t = 1,\\[4pt] s + t = 2. \end{cases}
Repare que a primeira equação diz s+t=1\] e a terceira diz \(s+t=2. Essas duas equações são incompatíveis (não podem ser verdade ao mesmo tempo). Portanto não existem s,t que resolvam o sistema. Conclusão: v_3 não é combinação linear de v_1 e v_2.]

Passo 4

Agora tentamos escrever v_1\) como combinação de \(v_2\) e \(v_3\). Procuramos \(\alpha,\beta\) tais que \[\alpha\,v_2 + \beta\,v_3 = v_1.
Escrevendo coordenadas:
\begin{cases} \alpha + \beta = 1,\\[4pt] 2\alpha + \beta = 1,\\[4pt] \alpha + 2\beta = 1. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos \alpha=0\]. Substituindo \(\alpha=0 na primeira dá \beta=1. Mas então a terceira equação exige \alpha+2\beta=0+2=2, o que contradiz o valor exigido 1. Logo não existe solução; v_1 não é combinação de v_2 e v_3.]

Passo 5

Finalmente tentamos escrever v_2\) como combinação de \(v_1\) e \(v_3\). Procuramos \(p,q\) tais que \[p\,v_1 + q\,v_3 = v_2.
Escrevendo coordenadas:
\begin{cases} p + q = 1,\\[4pt] p + q = 2,\\[4pt] p + 2q = 1. \end{cases}
As duas primeiras equações dizem ao mesmo tempo p+q=1\] e \(p+q=2, o que é impossível. Portanto não existem p,q que satisfaçam todas as equações; v_2 não é combinação de v_1 e v_3.]

Passo 6

Concluímos pelos passos anteriores que nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Isso significa que os três vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^3. Geometricamente, três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3 não pertencem a um mesmo plano que passa pela origem; eles “preenchem” o espaço tridimensional.
Como verificação rápida (opcional): formando a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]1 & 2 & 1\\[4pt]1 & 1 & 2\end{pmatrix},
o determinante vale
\det(A)=1\cdot(2\cdot2-1\cdot1)-1\cdot(1\cdot2-1\cdot1)+1\cdot(1\cdot1-2\cdot1)=3-1-1=1\neq0,
o que confirma que as colunas são linearmente independentes e, portanto, não são coplanares.]

Resposta

Os vetores não são coplanares.

Exercícios relacionados