Considere os pontos
e
.
a) Encontre a mediatriz do segmento
.
b) Encontre um ponto
na mediatriz tal que o triângulo
seja equilátero.
a) Encontre a mediatriz do segmento
b) Encontre um ponto
Passo 1
Dados do enunciado: os pontos
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Encontrar a mediatriz do segmento
— isto é, a reta perpendicular a que passa pelo ponto médio de . - (b) Encontrar um ponto
que esteja nessa mediatriz tal que o triângulo seja equilátero (pode haver dois pontos simétricos em relação ao segmento ).
Informações relevantes fornecidas: as coordenadas dos pontos
e
. Nada mais é dado explicitamente.
Passo 2
Primeiro vamos achar o ponto médio
do segmento
. Fórmula do ponto médio: se temos dois pontos
e
, então o ponto médio é
Aplicando aos pontos
e
:
Passo 3
Agora precisamos da inclinação (coeficiente angular) da reta
. Fórmula da inclinação entre
e
é
Aplicando a
e
:
A reta
tem inclinação
. A mediatriz é perpendicular a
, então sua inclinação
satisfaz
logo
Passo 4
Equação da mediatriz: é a reta que passa por
com inclinação
. Usamos a forma ponto-inclinação da reta: se uma reta tem inclinação
e passa por
, então
Aplicando com
e
:
Simplificando:
Em forma algébrica padrão:
Isso responde a parte (a): a mediatriz é a reta
(ou
).
Passo 5
Agora a parte (b). Queremos um ponto
que esteja na mediatriz e tal que o triângulo
seja equilátero. Observações importantes e método:
- Qualquer ponto
da mediatriz tem a mesma distância a e a , isto é, . Isso faz de um triângulo isósceles com base . - Para que seja equilátero também precisamos que
(pois em triângulo equilátero todos os lados são iguais). - Portanto basta escolher
na mediatriz de modo que a distância de a (ou a ) seja igual ao comprimento de .
Logo vamos calcular o comprimento de
e a distância do ponto médio
até o vértice
que corresponderá à altura do triângulo equilátero.
Passo 6
Comprimento do segmento
: usamos a fórmula da distância entre
e
,
Assim
Chamemos
.
Passo 7
Altura
de um triângulo equilátero de lado
: numa base de comprimento
, o vértice oposto está a uma distância (altura)
Explicando rapidamente: dividir o triângulo equilátero por sua mediana cria um triângulo retângulo com hipotenusa
e cateto da base
; aplicando Pitágoras obtemos
.
Aplicando com
:
Portanto o vértice
deve estar sobre a mediatriz a uma distância
do ponto médio
(para cima ou para baixo ao longo da mediatriz), porque isso garante que
.
Passo 8
Precisamos, então, deslocar
ao longo da direção da mediatriz por um vetor de comprimento
. A mediatriz tem inclinação
, logo um vetor diretor para essa reta é
(ou o oposto
). O comprimento de
é
. Para obter um vetor de comprimento
na mesma direção, escalamos por
Assim os deslocamentos possíveis são
Logo as duas possibilidades para
são
São dois pontos simétricos em relação ao segmento
; ambos pertencem à mediatriz e produzem triângulos
equiláteros.
Resposta
(a)
(ou
).
(b) ou
.
(b)