Considere os pontos A=\binom{1}{2} e B=\binom{3}{4}.
a) Encontre a mediatriz do segmento A B.
b) Encontre um ponto C na mediatriz tal que o triângulo A B C seja equilátero.

Passo 1

Dados do enunciado: os pontos
A=\binom{1}{2},\qquad B=\binom{3}{4}.
O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Encontrar a mediatriz do segmento AB — isto é, a reta perpendicular a AB que passa pelo ponto médio de AB.
  2. (b) Encontrar um ponto C que esteja nessa mediatriz tal que o triângulo ABC seja equilátero (pode haver dois pontos simétricos em relação ao segmento AB).
Informações relevantes fornecidas: as coordenadas dos pontos A e B. Nada mais é dado explicitamente.

Passo 2

Primeiro vamos achar o ponto médio M do segmento AB. Fórmula do ponto médio: se temos dois pontos P_1=\binom{x_1}{y_1} e P_2=\binom{x_2}{y_2}, então o ponto médio é
\binom{\dfrac{x_1+x_2}{2}}{\dfrac{y_1+y_2}{2}}.
Aplicando aos pontos A e B:
M=\binom{\dfrac{1+3}{2}}{\dfrac{2+4}{2}}=\binom{2}{3}.

Passo 3

Agora precisamos da inclinação (coeficiente angular) da reta AB. Fórmula da inclinação entre \binom{x_1}{y_1} e \binom{x_2}{y_2} é
m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aplicando a A e B:
m_{AB}=\dfrac{4-2}{3-1}=\dfrac{2}{2}=1.
A reta AB tem inclinação 1. A mediatriz é perpendicular a AB, então sua inclinação m_\perp satisfaz
m_{AB}\cdot m_\perp=-1,
logo
m_\perp=-1.

Passo 4

Equação da mediatriz: é a reta que passa por M=\binom{2}{3} com inclinação m_\perp=-1. Usamos a forma ponto-inclinação da reta: se uma reta tem inclinação m e passa por \binom{x_0}{y_0}, então
y-y_0=m(x-x_0).
Aplicando com m=-1 e M=(2,3):
y-3=-1\,(x-2).
Simplificando:
y-3=-x+2 \quad\Rightarrow\quad y=-x+5.
Em forma algébrica padrão:
x+y-5=0.
Isso responde a parte (a): a mediatriz é a reta \;y=-x+5\; (ou \;x+y-5=0).

Passo 5

Agora a parte (b). Queremos um ponto C que esteja na mediatriz e tal que o triângulo ABC seja equilátero. Observações importantes e método:
  • Qualquer ponto C da mediatriz tem a mesma distância a A e a B, isto é, \;CA=CB\;. Isso faz de ABC um triângulo isósceles com base AB.
  • Para que seja equilátero também precisamos que \;CA=AB\; (pois em triângulo equilátero todos os lados são iguais).
  • Portanto basta escolher C na mediatriz de modo que a distância de C a A (ou a B) seja igual ao comprimento de AB.
Logo vamos calcular o comprimento de AB e a distância do ponto médio M até o vértice C que corresponderá à altura do triângulo equilátero.

Passo 6

Comprimento do segmento AB: usamos a fórmula da distância entre \binom{x_1}{y_1} e \binom{x_2}{y_2},
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Assim
AB=\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Chamemos s=AB=2\sqrt{2}.

Passo 7

Altura h de um triângulo equilátero de lado s: numa base de comprimento s, o vértice oposto está a uma distância (altura)
h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,s.
Explicando rapidamente: dividir o triângulo equilátero por sua mediana cria um triângulo retângulo com hipotenusa s e cateto da base s/2; aplicando Pitágoras obtemos h=\sqrt{s^2-(s/2)^2}=\sqrt{\tfrac{3}{4}s^2}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}s.
Aplicando com s=2\sqrt{2}:
h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\sqrt{2}=\sqrt{3}\,\sqrt{2}=\sqrt{6}.
Portanto o vértice C deve estar sobre a mediatriz a uma distância \sqrt{6} do ponto médio M (para cima ou para baixo ao longo da mediatriz), porque isso garante que CA=CB=AB.

Passo 8

Precisamos, então, deslocar M=\binom{2}{3} ao longo da direção da mediatriz por um vetor de comprimento \sqrt{6}. A mediatriz tem inclinação -1, logo um vetor diretor para essa reta é \binom{1}{-1} (ou o oposto \binom{-1}{1}). O comprimento de \binom{1}{-1} é \sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}. Para obter um vetor de comprimento \sqrt{6} na mesma direção, escalamos por
\lambda=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}.
Assim os deslocamentos possíveis são
\vec{v}=\pm\sqrt{3}\binom{1}{-1}=\binom{\pm\sqrt{3}}{\mp\sqrt{3}}.
Logo as duas possibilidades para C são
C=M+\vec{v}=\binom{2}{3}+\binom{\pm\sqrt{3}}{\mp\sqrt{3}}=\binom{2\pm\sqrt{3}}{\,3\mp\sqrt{3}}.
São dois pontos simétricos em relação ao segmento AB; ambos pertencem à mediatriz e produzem triângulos ABC equiláteros.

Resposta

(a) x+y-5=0 (ou y=-x+5).
(b) C=\binom{2+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} ou C=\binom{2-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}.

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