Calcule o determinante das seguintes matrizes:
\left( \begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada de ordem 4:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}
e pede que calculemos o determinante de A.
Informações relevantes dadas:
\;A é uma matriz 4\times4.
Cada linha é explícita na matriz acima.
O objetivo é obter \det(A).

Passo 2

Vamos usar operações elementares sobre linhas que preservam o determinante: substituir uma linha por ela menos outra linha (ou mais um múltiplo de outra linha) não altera o valor do determinante. Também usaremos a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal. Essas são as duas ferramentas que usaremos passo a passo.
Breve explicação dessas ferramentas (para aplicar na prova):
  • Operação de linha: se substituímos a linha i por \text{linha}_i - k\cdot\text{linha}_j (com k escalar e j\neq i), o determinante permanece o mesmo. Isso é útil porque permite zerar entradas abaixo ou acima da diagonal sem alterar \det.
  • Determinante de triangular: se uma matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal são zero), então
\det = \prod_{i=1}^{n} a_{ii},
ou seja, produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Aplicaremos operações de linha que não mudam o determinante, de baixo para cima, para criar zeros abaixo da diagonal:
Primeira operação: substituir a linha 4 por \text{linha}_4 - \text{linha}_3. Isso não altera \det(A). Calculando explicitamente:
\text{linha}_4 - \text{linha}_3 = (1,2,3,4)-(1,2,3,3)=(0,0,0,1).
Após essa operação a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Segunda operação: substituir a linha 3 por \text{linha}_3 - \text{linha}_2. Também não altera \det. Calculando:
\text{linha}_3 - \text{linha}_2 = (1,2,3,3)-(1,2,2,2)=(0,0,1,1).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Terceira operação: substituir a linha 2 por \text{linha}_2 - \text{linha}_1. Novamente o determinante não muda. Calculando:
\text{linha}_2 - \text{linha}_1 = (1,2,2,2)-(1,1,1,1)=(0,1,1,1).
A matriz resultante é
B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Em todos esses passos usamos apenas substituições do tipo \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - \text{linha}_j, que preservam o valor do determinante; portanto \det(B)=\det(A).

Passo 6

Observação sobre B: ela é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal são zeros). Portanto podemos usar a propriedade do determinante de matrizes triangulares: o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Aqui a diagonal principal de B tem os elementos 1,1,1,1. Logo
\det(B)=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1 = 1.

Passo 7

Como \det(B)=\det(A) (as operações de linhas usadas não alteraram o determinante), concluímos que
\det(A)=1.
Força aí — essa técnica de zerar abaixo (ou acima) da diagonal com subtrações de linhas é super prática na prova: zerou tudo em poucas operações e deixou a matriz triangular, daí o determinante sai na hora.

Resposta

\;1

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