Encontre a interseção dos seguintes conjuntos:
\left\{\lambda\binom{1}{0}+\binom{1}{1}, \lambda \in \mathbb{R}\right\} e \left\{\binom{x}{y}, 2 x+4 y=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre dois conjuntos de vetores. As informações dadas são:
  • Primeiro conjunto: \left\{\lambda\binom{1}{0}+\binom{1}{1},\\ \lambda\in\mathbb{R}\right\}.
    Isto significa que cada vetor desse conjunto tem a forma \lambda\binom{1}{0}+\binom{1}{1} para algum \lambda real.
  • Segundo conjunto: \left\{\binom{x}{y},\\\ 2x+4y=0\right\}.
    Isto significa que o conjunto contém todos os vetores \binom{x}{y} cujas componentes x e y satisfazem a equação linear 2x+4y=0.
A pergunta é: quais vetores pertencem simultaneamente aos dois conjuntos? (isto é, qual é a interseção dos dois conjuntos)

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a forma dos vetores do primeiro conjunto. Primeiro eu explico o que significa \lambda\binom{1}{0}+\binom{1}{1}:
  • Multiplicação por escalar: \lambda\binom{1}{0}=\binom{\lambda\cdot 1}{\lambda\cdot 0}=\binom{\lambda}{0}. Aqui \lambda é um número real que escala o vetor \binom{1}{0}.
  • Soma de vetores: \binom{\lambda}{0}+\binom{1}{1}=\binom{\lambda+1}{0+1}=\binom{\lambda+1}{1}.
Portanto cada vetor do primeiro conjunto tem a forma
\binom{\lambda+1}{1},\quad \lambda\in\mathbb{R}.
Isto mostra que no primeiro conjunto a segunda componente é sempre \,1.

Passo 3

Agora interpretamos o segundo conjunto. A condição é 2x+4y=0. Posso isolar y em função de x para ver mais claramente os vetores que satisfazem:
2x+4y=0 \quad\Longrightarrow\quad 4y=-2x \quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{2}{4}x=-\frac{1}{2}x.
Então o segundo conjunto é formado por todos os vetores
\binom{x}{-\frac{1}{2}x},\quad x\in\mathbb{R},
ou equivalentemente todos os \binom{x}{y} com y=-\frac{1}{2}x.

Passo 4

Para encontrar a interseção, preciso achar vetores que pertençam a ambos os conjuntos ao mesmo tempo. Um vetor da interseção deve ser simultaneamente da forma \binom{\lambda+1}{1} (do primeiro conjunto) e satisfazer 2x+4y=0 (do segundo conjunto).
Como o primeiro conjunto fixa a segunda componente em 1, a forma mais direta é usar essa informação e substituir y=1 na equação do segundo conjunto. Esse é um método simples e direto: substituir uma coordenada conhecida na equação do outro conjunto.

Passo 5

Substituindo y=1 em 2x+4y=0 temos:
2x+4\cdot 1=0.
Faço as contas passo a passo:
2x+4=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x=-4 \quad\Longrightarrow\quad x=-2.
Então qualquer vetor da interseção deve ter x=-2 e y=1, ou seja \binom{-2}{1}.

Passo 6

Agora relaciono isso com o parâmetro \lambda do primeiro conjunto para verificar consistência. Do primeiro conjunto temos x=\lambda+1. Igualando ao valor encontrado:
\lambda+1=-2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=-3.
Isso mostra que, com \lambda=-3, o vetor do primeiro conjunto é
\binom{\lambda+1}{1}=\binom{-3+1}{1}=\binom{-2}{1},
coincidindo com o vetor que satisfaz a equação do segundo conjunto.

Passo 7

Verificação final: plugando \binom{-2}{1} na equação 2x+4y obtemos
2\cdot(-2)+4\cdot 1=-4+4=0,
logo o vetor pertence ao segundo conjunto. Também pertence ao primeiro para \lambda=-3. Portanto a interseção é exatamente o conjunto com esse único vetor.

Resposta

\displaystyle \binom{-2}{1}

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