Encontre a interseção dos seguintes conjuntos:
e
Passo 1
O enunciado pede a interseção entre dois conjuntos de vetores. As informações dadas são:
-
Primeiro conjunto:
.
Isto significa que cada vetor desse conjunto tem a formapara algum real. -
Segundo conjunto:
.
Isto significa que o conjunto contém todos os vetorescujas componentes e satisfazem a equação linear .
A pergunta é: quais vetores pertencem simultaneamente aos dois conjuntos? (isto é, qual é a interseção dos dois conjuntos)
Passo 2
Vamos escrever explicitamente a forma dos vetores do primeiro conjunto. Primeiro eu explico o que significa
:
- Multiplicação por escalar:
. Aqui é um número real que escala o vetor . - Soma de vetores:
.
Portanto cada vetor do primeiro conjunto tem a forma
Isto mostra que no primeiro conjunto a segunda componente é sempre
.
Passo 3
Agora interpretamos o segundo conjunto. A condição é
. Posso isolar
em função de
para ver mais claramente os vetores que satisfazem:
Então o segundo conjunto é formado por todos os vetores
ou equivalentemente todos os
com
.
Passo 4
Para encontrar a interseção, preciso achar vetores que pertençam a ambos os conjuntos ao mesmo tempo. Um vetor da interseção deve ser simultaneamente da forma
(do primeiro conjunto) e satisfazer
(do segundo conjunto).
Como o primeiro conjunto fixa a segunda componente em
, a forma mais direta é usar essa informação e substituir
na equação do segundo conjunto. Esse é um método simples e direto: substituir uma coordenada conhecida na equação do outro conjunto.
Passo 5
Substituindo
em
temos:
Faço as contas passo a passo:
Então qualquer vetor da interseção deve ter
e
, ou seja
.
Passo 6
Agora relaciono isso com o parâmetro
do primeiro conjunto para verificar consistência. Do primeiro conjunto temos
. Igualando ao valor encontrado:
Isso mostra que, com
, o vetor do primeiro conjunto é
coincidindo com o vetor que satisfaz a equação do segundo conjunto.
Passo 7
Verificação final: plugando
na equação
obtemos
logo o vetor pertence ao segundo conjunto. Também pertence ao primeiro para
. Portanto a interseção é exatamente o conjunto com esse único vetor.