Encontre a interseção dos seguintes conjuntos:
\left\{\lambda\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right), \lambda \in \mathbb{R}\right\} e \left\{\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right), 2 x+4 y+3 z=5\right\}

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre dois conjuntos. Vou listar exatamente o que foi dado e o que se quer encontrar:
  • Conjunto 1: \left\{\lambda\left(\begin{array}{l}1 \\[2pt] 1 \\[2pt] 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\[2pt] 1 \\[2pt] 1\end{array}\right),\\ \lambda\in\mathbb{R}\right\}.
    Informação: um vetor genérico desse conjunto depende do parâmetro \lambda.
  • Conjunto 2: \left\{\left(\begin{array}{l}x \\[2pt] y \\[2pt] z\end{array}\right)\\ ;\\\ 2x+4y+3z=5\right\}.
    Informação: é o conjunto de todos os vetores (x,y,z) que satisfazem a equação plana 2x+4y+3z=5.
  • O que se pede: todos os vetores que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos (ou seja, a interseção).]

Passo 2

Escrever um elemento genérico do primeiro conjunto em coordenadas ajuda a enxergar o problema. Tomando \lambda\in\mathbb{R}, o vetor do primeiro conjunto é
\lambda\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}1+\lambda\\[2pt]1+\lambda\\[2pt]1\end{array}\right).
Aqui definimos as coordenadas desse vetor como
x=1+\lambda,\qquad y=1+\lambda,\qquad z=1.
Breve explicação: a expressão do enunciado é uma forma paramétrica de uma reta — cada valor de \lambda gera um ponto da reta. Nosso objetivo é encontrar qual \lambda (se existir) produz um ponto que também satisfaça a equação da segunda condição (o plano).]

Passo 3

Impor que esse vetor pertença ao segundo conjunto significa substituir x,y,z na equação do plano por x=1+\lambda,\\ y=1+\lambda,\\ z=1. Fazemos:
2x+4y+3z=5
substituindo
2(1+\lambda)+4(1+\lambda)+3(1)=5.
Agora expandimos os parênteses e somamos termos semelhantes passo a passo:
2(1+\lambda)=2+2\lambda,
4(1+\lambda)=4+4\lambda,
3(1)=3.
Somando tudo:
(2+2\lambda)+(4+4\lambda)+3 = 2+4+3 + (2\lambda+4\lambda) = 9 + 6\lambda.
Portanto a equação vira
9 + 6\lambda = 5.

Passo 4

Resolver a equação 9+6\lambda=5 isolando \lambda:
6\lambda = 5-9 = -4,
\lambda = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}.
Comentário didático: é uma equação linear simples em \lambda; subtraímos 9 e dividimos por 6 para obter \lambda.

Passo 5

Com \lambda=-\dfrac{2}{3} calculamos as coordenadas do ponto de interseção substituindo de volta em x=1+\lambda,\\ y=1+\lambda,\\ z=1:
x = 1 + \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3},
y = 1 + \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3},
z = 1.
Assim o ponto é
\left(\begin{array}{c}\dfrac{1}{3}\\[6pt]\dfrac{1}{3}\\[6pt]1\end{array}\right).]

Passo 6

Verificação rápida (boa prática para prova): substituir esse ponto na equação do plano:
2\cdot\frac{1}{3}+4\cdot\frac{1}{3}+3\cdot1 = \frac{2}{3}+\frac{4}{3}+3 = \frac{6}{3}+3 = 2+3 = 5,
funciona, logo o ponto realmente pertence ao plano e também vem da reta parametrizada — é a interseção.

Resposta

\displaystyle \left(\begin{array}{c}\dfrac{1}{3}\\[6pt]\dfrac{1}{3}\\[6pt]1\end{array}\right)]

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