Encontre a interseção dos seguintes conjuntos: \left\{\lambda\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right), \lambda \in \mathbb{R}\right\} e \left\{\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right), 2 x+4 y+3 z=5\right\}
Passo 1
O enunciado pede a interseção entre dois conjuntos. Vou listar exatamente o que foi dado e o que se quer encontrar:
Conjunto 1: \left\{\lambda\left(\begin{array}{l}1 \\[2pt] 1 \\[2pt] 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\[2pt] 1 \\[2pt] 1\end{array}\right),\\ \lambda\in\mathbb{R}\right\}.
Informação: um vetor genérico desse conjunto depende do parâmetro \lambda.
Conjunto 2: \left\{\left(\begin{array}{l}x \\[2pt] y \\[2pt] z\end{array}\right)\\ ;\\\ 2x+4y+3z=5\right\}.
Informação: é o conjunto de todos os vetores (x,y,z) que satisfazem a equação plana 2x+4y+3z=5.
O que se pede: todos os vetores que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos (ou seja, a interseção).]
Passo 2
Escrever um elemento genérico do primeiro conjunto em coordenadas ajuda a enxergar o problema. Tomando \lambda\in\mathbb{R}, o vetor do primeiro conjunto é
Breve explicação: a expressão do enunciado é uma forma paramétrica de uma reta — cada valor de \lambda gera um ponto da reta. Nosso objetivo é encontrar qual \lambda (se existir) produz um ponto que também satisfaça a equação da segunda condição (o plano).]
Passo 3
Impor que esse vetor pertença ao segundo conjunto significa substituir x,y,z na equação do plano por x=1+\lambda,\\ y=1+\lambda,\\ z=1. Fazemos:
2x+4y+3z=5
substituindo
2(1+\lambda)+4(1+\lambda)+3(1)=5.
Agora expandimos os parênteses e somamos termos semelhantes passo a passo: