Calcule o determinante das seguintes matrizes:
B=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & 0 \\\\ 2 & -1 & 1 \\\\ 5 & 2 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o determinante da matriz B.
Informações dadas (os elementos da matriz):
B=\begin{pmatrix} -1 & 3 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 1\\[4pt] 5 & 2 & 2 \end{pmatrix}
Não há outras perguntas; apenas encontrar \det(B).]

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática): para matrizes 3\times3 a forma mais direta é usar a regra de Sarrus. Vou explicar essa regra passo a passo.
Regra de Sarrus (fórmula): se B=(b_{ij}) é uma matriz 3\times3,
\det(B)=b_{11}b_{22}b_{33}+b_{12}b_{23}b_{31}+b_{13}b_{21}b_{32} -\bigl(b_{13}b_{22}b_{31}+b_{11}b_{23}b_{32}+b_{12}b_{21}b_{33}\bigr).
Aqui cada termo é o produto dos elementos de uma diagonal (as três diagonais “descendo” da esquerda para a direita somam, as três diagonais “subindo” da esquerda para a direita subtraem). Vou aplicar essa fórmula diretamente.

Passo 3

Identificar explicitamente os elementos b_{ij} da matriz:
b_{11}=-1,\quad b_{12}=3,\quad b_{13}=0,
b_{21}=2,\quad b_{22}=-1,\quad b_{23}=1,
b_{31}=5,\quad b_{32}=2,\quad b_{33}=2.

Passo 4

Calcular os três produtos que entram com sinal positivo na regra de Sarrus:
Primeiro:
b_{11}b_{22}b_{33}=(-1)\cdot(-1)\cdot 2.
Fazendo a conta passo a passo: (-1)\cdot(-1)=1, então 1\cdot 2=2. Logo
b_{11}b_{22}b_{33}=2.
Segundo:
b_{12}b_{23}b_{31}=3\cdot 1\cdot 5.
Fazendo a conta: 3\cdot 1=3, 3\cdot 5=15. Logo
b_{12}b_{23}b_{31}=15.
Terceiro:
b_{13}b_{21}b_{32}=0\cdot 2\cdot 2=0.

Passo 5

Somar os termos positivos:
\text{soma\_positivos}=2+15+0=17.

Passo 6

Calcular os três produtos que entram com sinal negativo na regra de Sarrus:
Primeiro:
b_{13}b_{22}b_{31}=0\cdot(-1)\cdot 5=0.
Segundo:
b_{11}b_{23}b_{32}=(-1)\cdot 1\cdot 2.
Fazendo a conta: (-1)\cdot 1=-1, -1\cdot 2=-2. Então
b_{11}b_{23}b_{32}=-2.
Terceiro:
b_{12}b_{21}b_{33}=3\cdot 2\cdot 2.
Fazendo a conta: 3\cdot 2=6, 6\cdot 2=12. Então
b_{12}b_{21}b_{33}=12.

Passo 7

Somar os termos negativos (antes de subtrair):
\text{soma\_negativos}=0+(-2)+12=10.

Passo 8

Aplicar a regra de Sarrus: subtrair a soma dos negativos da soma dos positivos:
\det(B)=\text{soma\_positivos}-\text{soma\_negativos}=17-10=7.

Passo 9

Verificação rápida (método alternativo, cofatores) — só para confirmar e também ensinar outra técnica:
Expansão pela primeira linha:
\det(B)=b_{11}\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix} - b_{12}\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix} + b_{13}\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix}.
Calcular os menores:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}=(-1)\cdot 2 - 1\cdot 2 = -2-2=-4,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix}=2\cdot 2 - 1\cdot 5=4-5=-1,
e b_{13}=0 anula o terceiro termo. Assim
\det(B)=(-1)\cdot(-4)-3\cdot(-1)+0 = 4+3=7,
confirmando o resultado obtido por Sarrus.]

Resposta

\det(B)=7

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