Seja A uma matriz 3 \times 3. A partir de A, fizemos as seguintes operações elementares, obtendo as matrizes B, C e D :
A \xrightarrow{L_{1} \leftrightarrow L_{3}} B \quad \xrightarrow{5 L_{2} \rightarrow L_{2}} C \quad \xrightarrow{-7 L_{1}+L_{2} \rightarrow L_{2}} D
Sabendo que \operatorname{det}(A)=-2, calcule o determinante de D.
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz 3\times3 chamada A e três operações elementares feitas em sequência que produzem as matrizes B,C,D:
A \xrightarrow{L_{1} \leftrightarrow L_{3}} B (troca das linhas L_{1} e L_{3});
B \xrightarrow{5 L_{2} \rightarrow L_{2}} C (multiplica a linha L_{2} por 5);
C \xrightarrow{-7 L_{1}+L_{2} \rightarrow L_{2}} D (substitui L_{2} por L_{2}-7L_{1}, ou seja, soma um múltiplo da linha L_{1} à linha L_{2}).
O que é pedido: calcular \det(D) sabendo que \det(A) = -2.
Informações relevantes dadas:
\det(A) = -2.
As operações são operações elementares sobre linhas, descritas acima.
Passo 2
Conceitos e regras importantes que vamos usar (explicadas de forma direta):
Por \det(M) entende-se o determinante da matriz M. Para matrizes quadradas o determinante é uma função que, entre outras propriedades, mede (intuïtivamente) fator de escala do volume por transformação linear representada pela matriz.
Efeito das operações elementares sobre determinante (essas são regras padrão e muito usadas em provas):
Trocar duas linhas: se trocarmos a linha L_i com a linha L_j então o determinante muda de sinal. Em símbolos, se B é obtida de A trocando L_i e L_j então \det(B) = -\det(A).
Multiplicar uma linha por um escalar k: se C é obtida de B multiplicando uma linha por k então \det\text{(C)}=k\det(B). Isto vem da propriedade de multilinearidade do determinante: cada linha é linear separadamente.
Somar um múltiplo de uma linha a outra linha: se D é obtida de C substituindo L_i por L_i + \lambda L_j (com i\neq j) então o determinante não muda; ou seja, \det(D)=\det\text{(C)}. Isso ocorre porque o determinante é linear em cada linha e a contribuição do múltiplo da outra linha cancela de maneira que o valor final permanece.
Vou usar essas três regras diretamente em sequência conforme as operações do enunciado.
Passo 3
Aplicando a primeira operação A \xrightarrow{L_{1} \leftrightarrow L_{3}} B.
Pela regra 1 (troca de linhas), temos
\det(B) = -\det(A).
Como \det(A) = -2, segue
\det(B) = -(-2) = 2.
Passo 4
Aplicando a segunda operação B \xrightarrow{5 L_{2} \rightarrow L_{2}} C.
Isto é multiplicar a linha L_{2} por 5. Pela regra 2 (multiplicação de linha por escalar),
\det\text{(C)} = 5\det(B).
Substituindo \det(B)=2,
\det\text{(C)} = 5\cdot 2 = 10.
Passo 5
Aplicando a terceira operação C \xrightarrow{-7 L_{1}+L_{2} \rightarrow L_{2}} D.
Isto é substituir L_{2} por L_{2} + (-7)L_{1}, ou seja, somar -7 vezes L_{1} à linha L_{2}. Pela regra 3 (adição de múltiplo de uma linha a outra), o determinante permanece inalterado: