Calcule o determinante das seguintes matrizes.
7. N=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 2 \\\\ 2 & 0 & 1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz N de ordem 4:
N = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 2\\\\ 2 & 0 & 1 & 3\\\\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Vamos usar operações elementares de linha para triangularizar a matriz e depois aplicar a propriedade de que, em uma matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. As operações do tipo L_i \leftarrow L_i + k\,L_j não alteram o determinante.

Passo 2

Aplicamos as operações
L_3 \leftarrow L_3 - 2\,L_1,\qquad L_4 \leftarrow L_4 - L_1.
Isso leva a
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 2\\\\ 0 & -4 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora zeramos os elementos abaixo do pivô na coluna 2 com
L_3 \leftarrow L_3 + 4\,L_2,\qquad L_4 \leftarrow L_4 + L_2,
obtendo a forma triangular superior
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 5 & 9\\\\ 0 & 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Em uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos pivôs das colunas 1 e 2 (que são 1 e 1) vezes o determinante do bloco 2\times2 \begin{pmatrix} 5 & 9\\\\ 3 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Calculamos
\det\!\begin{pmatrix}5 & 9\\\ 3 & 1\end{pmatrix} = 5\cdot1 \;-\;9\cdot3 = 5 - 27 = -22.
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\det(N) = 1 \times 1 \times (-22) = -22.

Resposta

\det(N) = -22

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