Calcule o determinante das seguintes matrizes.
6. Q=\left[\begin{array}{cccc}0 & 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 0 & 4 & 2 \\\\ 1 & 1 & 0 & 3 \\\\ -2 & 5 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
Q = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & -1\\\\ 3 & 0 & 4 & 2\\\\ 1 & 1 & 0 & 3\\\\ -2& 5 & 1 & 0 \end{pmatrix}
Estamos em Álgebra Linear, usando a definição de determinante por expansão de Laplace (cofatores) ou por operações sobre linhas. Aqui vamos usar a expansão pela primeira linha, pois nela já há um zero, o que facilita.

Passo 2

A fórmula da expansão pela primeira linha é
\det(Q) \;=\;\sum_{j=1}^4 (-1)^{1+j}\,q_{1j}\,\det\bigl(M_{1j}\bigr),
onde M_{1j} é o menor obtido eliminando a linha 1 e a coluna j. Como q_{11}=0, só aparecem os termos j=2,3,4:
\det(Q) = (-1)^{1+2}\,2\,\det(M_{12}) \;+\;(-1)^{1+3}\,1\,\det(M_{13}) \;+\;(-1)^{1+4}\,(-1)\,\det(M_{14}).
Calculando os sinais, temos
\det(Q) = -2\,\det(M_{12}) \;+\;\det(M_{13})\;+\;\det(M_{14}).

Passo 3

Vamos achar \det(M_{12}). Eliminando linha 1 e coluna 2 de Q,
M_{12} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2\\\\ 1 & 0 & 3\\\\ -2& 1 & 0 \end{pmatrix}.
Usando a regra de Sarrus ou expansão,
\det(M_{12}) =3\,(0\cdot0 - 3\cdot1) -4\,(1\cdot0 - 3\cdot(-2)) +2\,(1\cdot1 - 0\cdot(-2)) =3\cdot(-3)-4\cdot6+2\cdot1 =-9-24+2 =-31.
Logo -2\,\det(M_{12}) = -2\cdot(-31)=62.

Passo 4

Agora \det(M_{13}). Eliminando linha 1 e coluna 3,
M_{13} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 2\\\\ 1 & 1 & 3\\\\ -2& 5 & 0 \end{pmatrix}.
Expansão pela primeira linha:
\det(M_{13}) =3\,(1\cdot0 - 3\cdot5) -0\,(1\cdot0 - 3\cdot(-2)) +2\,(1\cdot5 - 1\cdot(-2)) =3\cdot(-15)+2\cdot7 =-45+14 =-31.

Passo 5

Finalmente \det(M_{14}). Eliminando linha 1 e coluna 4,
M_{14} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 4\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ -2& 5 & 1 \end{pmatrix}.
Expandindo:
\det(M_{14}) =3\,(1\cdot1 - 0\cdot5) -0\,(1\cdot1 - 0\cdot(-2)) +4\,(1\cdot5 - 1\cdot(-2)) =3\cdot1 +4\cdot7 =3+28 =31.

Passo 6

Somando todos os termos na fórmula do passo 2,
\det(Q) = 62 + (-31) + 31 = 62.

Resposta

O determinante de Q é 62.

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