Calcule o determinante das seguintes matrizes pelo método de Laplace.
(b)
\mathrm{B}=\left(\begin{array}{rrr} 2 & -3 & 3 \\\\ 4 & 4 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
B = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 3 \\\\ 4 & 4 & 1 \\\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}
usando o método de Laplace (expansão por cofatores). Vamos relembrar que, para uma matriz 3\times3,
\det(B) = \sum_{j=1}^{3} (-1)^{1+j}\,b_{1j}\,\det(M_{1j}),
onde M_{1j} é a matriz obtida ao eliminar a primeira linha e a coluna j.

Passo 2

Escolhemos expandir ao longo da primeira linha. Assim,
\det(B) = b_{11}\,C_{11} \;+\; b_{12}\,C_{12} \;+\; b_{13}\,C_{13},
onde cada cofactor C_{1j} = (-1)^{1+j}\det(M_{1j}).

Passo 3

Calculamos os menores e cofatores:
M_{11} = \begin{pmatrix}4 & 1 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \det(M_{11}) = 4\cdot2 - 1\cdot1 = 8 - 1 = 7,
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C_{11} = (+1)\cdot7 = 7.
M_{12} = \begin{pmatrix}4 & 1 \\\\ 2 & 2\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \det(M_{12}) = 4\cdot2 - 1\cdot2 = 8 - 2 = 6,
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C_{12} = (-1)\cdot6 = -6.
M_{13} = \begin{pmatrix}4 & 4 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \det(M_{13}) = 4\cdot1 - 4\cdot2 = 4 - 8 = -4,
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C_{13} = (+1)\cdot(-4) = -4.

Passo 4

Agora substituímos na fórmula da expansão:
\det(B) = 2\cdot C_{11} \;+\; (-3)\cdot C_{12} \;+\; 3\cdot C_{13} = 2\cdot7 \;+\; (-3)\cdot(-6) \;+\; 3\cdot(-4).
Calculando:
2\cdot7 = 14,\quad (-3)\cdot(-6) = 18,\quad 3\cdot(-4) = -12.
Portanto,
\det(B) = 14 + 18 - 12 = 20.

Resposta

\det(B) = 20

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