Calcule o determinante das seguintes matrizes pelo método de Laplace.
(c)
\mathrm{C}=\left(\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & -1 \\\\ -6 & 12 & 0 & 4 \\\\ 1 & -15 & 21 & 3 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 1 \\[6pt] 0 & 3 & 3 & -1 \\[6pt] -6 & 12 & 0 & 4 \\[6pt] 1 & -15 & 21 & 3 \end{pmatrix}
usando o método de Laplace. Vamos explorar que na primeira linha há um zero, o que simplifica a expansão.]

Passo 2

Expandindo o determinante de C pela primeira linha, temos
\det C =2\cdot(-1)^{1+1}M_{11} +0\cdot(-1)^{1+2}M_{12} +1\cdot(-1)^{1+3}M_{13} +1\cdot(-1)^{1+4}M_{14},
onde M_{ij} é o menor complementar obtido eliminando linha i e coluna j. Como o segundo termo é zero e (-1)^{1+1}=1, (-1)^{1+3}=1, (-1)^{1+4}=-1, segue
\det C = 2\,M_{11} + M_{13} - M_{14}.

Passo 3

Calcular M_{11}, o determinante da submatriz obtida tirando linha 1 e coluna 1:
M_{11} =\begin{vmatrix} 3 & 3 & -1\\\\ 12 & 0 & 4\\\\ -15 & 21 & 3 \end{vmatrix}.
Pela regra de Sarrus,
M_{11} =3\cdot0\cdot3 + 3\cdot4\cdot(-15) + (-1)\cdot12\cdot21 -\bigl((-1)\cdot0\cdot(-15)+3\cdot12\cdot3+3\cdot4\cdot21\bigr) =-792.

Passo 4

Calcular M_{13}, eliminando linha 1 e coluna 3:
M_{13} =\begin{vmatrix} 0 & 3 & -1\\\\ -6 & 12 & 4\\\\ 1 & -15 & 3 \end{vmatrix} =0\cdot12\cdot3 + 3\cdot4\cdot1 + (-1)\cdot(-6)\cdot(-15) -\bigl((-1)\cdot12\cdot1 + 0\cdot4\cdot(-15)+3\cdot(-6)\cdot3\bigr) =-12.

Passo 5

Calcular M_{14}, eliminando linha 1 e coluna 4:
M_{14} =\begin{vmatrix} 0 & 3 & 3\\\\ -6 & 12 & 0\\\\ 1 & -15 & 21 \end{vmatrix} =0\cdot12\cdot21 + 3\cdot0\cdot1 + 3\cdot(-6)\cdot(-15) -\bigl(3\cdot12\cdot1 + 0\cdot0\cdot(-15)+3\cdot(-6)\cdot21\bigr) =612.

Passo 6

Substituindo em \det C = 2\,M_{11} + M_{13} - M_{14}, obtemos
\det C = 2\cdot(-792) + (-12) - 612 = -2208.

Resposta

\det C = -2208

Exercícios relacionados