Determine a matriz adjunta das seguintes matrizes
(a)
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{rr}31 & 1 \\\\ -2 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz adjunta (ou adjugate) de
A = \begin{pmatrix}31 & 1 \\[6pt] -2 & 2\end{pmatrix}.
Em Álgebra Linear, a matriz adjunta de A é a transposta da matriz de cofatores de A. Para isso, vamos calcular os cofatores de cada entrada de A e depois fazer a transposição.]

Passo 2

Calcular os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o determinante do menor obtido ao tirar a linha i e a coluna j de A:
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}31&1\\\\ -2&2\end{pmatrix}.
Então:
C_{11}=(-1)^{1+1}\det\bigl([\,2\,]\bigr)=+1\cdot 2=2,
C_{12}=(-1)^{1+2}\det\bigl([\\ -2]\bigr)=-1\cdot(-2)=2,
C_{21}=(-1)^{2+1}\det\bigl([\,1\,]\bigr)=-1\cdot 1=-1,
C_{22}=(-1)^{2+2}\det\bigl([\,31\,]\bigr)=+1\cdot 31=31.

Passo 3

A matriz de cofatores é
C=\begin{pmatrix}2 & 2\\\\ -1 & 31\end{pmatrix}.
Logo, a matriz adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A)=C^{T} =\begin{pmatrix}2 & -1\\\\ 2 & 31\end{pmatrix}.

Resposta

\displaystyle \operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]2 & 31\end{pmatrix}.]

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