Calcule os determinantes abaixo:
Calcule o determinante dado por meio da redução à forma triangular.
(a) \left|\begin{array}{rrr}4 & -3 & 5 \\\\ 5 & 2 & 6 \\\\ 2 & 0 & 4\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 5\\\\ 5 & 2 & 6\\\\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}
usando redução à forma triangular. Vamos aplicar operações elementares de linhas que não alteram o valor do determinante (somar múltiplos de uma linha a outra) até obter uma matriz triangular superior, e então multiplicar os elementos da diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, anulemos os elementos abaixo de a_{11}=4. Definimos
L_2 \leftarrow L_2 - \frac{5}{4}L_1,\quad L_3 \leftarrow L_3 - \frac{1}{2}L_1.
Como somar múltiplos de L_1 a L_2 ou L_3 não muda o determinante, continuamos.

Passo 3

Após essas operações, calculamos cada entrada:
Para L_2:
5 - \tfrac{5}{4}\cdot4 = 0,\quad 2 - \tfrac{5}{4}\cdot(-3) = 2 + \tfrac{15}{4} = \tfrac{23}{4},\quad 6 - \tfrac{5}{4}\cdot5 = 6 - \tfrac{25}{4} = -\tfrac{1}{4}.
Para L_3:
2 - \tfrac12\cdot4 = 0,\quad 0 - \tfrac12\cdot(-3) = \tfrac32,\quad 4 - \tfrac12\cdot5 = \tfrac32.
Ficamos com
\begin{pmatrix} 4 & -3 & 5\\\\ 0 & \tfrac{23}{4} & -\tfrac{1}{4}\\\\ 0 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2} \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora anulamos o elemento \tfrac{3}{2} em posição (3,2). Aplicamos
L_3 \leftarrow L_3 - \frac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{23}{4}}\,L_2 = L_3 - \frac{3/2}{23/4}\,L_2 = L_3 - \frac{6}{23}\,L_2.
O novo a_{33} fica
\tfrac{3}{2} - \frac{6}{23}\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr) = \tfrac{3}{2} + \tfrac{6}{92} = \tfrac{69}{46} + \tfrac{3}{46} = \tfrac{72}{46} = \tfrac{36}{23}.
Agora a matriz está triangular superior:
\begin{pmatrix} 4 & * & *\\\\ 0 & \tfrac{23}{4} & *\\\\ 0 & 0 & \tfrac{36}{23} \end{pmatrix}.

Passo 5

O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Logo,
\det(A) = 4 \times \frac{23}{4} \times \frac{36}{23} = 36.

Resposta

36

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