Calcule os determinantes abaixo:
Calcule o determinante dado por meio da redução à forma triangular.
(b) \left|\begin{array}{rrrr}2 & 0 & 1 & 4 \\\\ 3 & 2 & -4 & -2 \\\\ 2 & 3 & -1 & 0 \\\\ 11 & 8 & -4 & 6\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 4 \\\\ 3 & 2 & -4 & -2 \\\\ 2 & 3 & -1 & 0 \\\\ 11 & 8 & -4 & 6 \end{pmatrix}
usando redução à forma triangular. Vamos usar operações elementares de linha do tipo “subtrair múltiplos de uma linha de outra”, que não alteram o valor do determinante, até obter uma matriz triangular.

Passo 2

Eliminamos as entradas abaixo de a_{11}=2 usando
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac32\,R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 1\cdot R_1,\quad R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{11}{2}\,R_1.
Isso leva a
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 2 & -\tfrac{11}{2} & -8 \\\\ 0 & 3 & -2 & -4 \\\\ 0 & 8 & -\tfrac{19}{2} & -16 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora usamos a_{22}=2 para zerar abaixo:
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac32\,R_2,\quad R_4 \leftarrow R_4 - 4\,R_2.
Fica
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 2 & -\tfrac{11}{2} & -8 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{25}{4} & 8 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{25}{2} & 16 \end{pmatrix}.

Passo 4

Por fim, com a_{33}=\tfrac{25}{4}, zeramos abaixo:
R_4 \leftarrow R_4 - 2\,R_3,
resultando em
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 2 & -\tfrac{11}{2} & -8 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{25}{4} & 8 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Chegamos a uma matriz triangular, cuja diagonal principal é
\;2,\;2,\;\tfrac{25}{4},\;0.

Passo 6

O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Logo,
\det(A) = 2 \times 2 \times \tfrac{25}{4} \times 0 = 0.

Resposta

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