Calcule os determinantes abaixo:
Calcule o determinante dado por meio da redução à forma triangular.
(c) \left|\begin{array}{rrrr}4 & 2 & 3 & -4 \\\\ 3 & -2 & 1 & 5 \\\\ -2 & 0 & 1 & -3 \\\\ 8 & -2 & 6 & 4\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 & -4 \\[6pt] 3 & -2 & 1 & 5 \\[6pt] -2 & 0 & 1 & -3 \\[6pt] 8 & -2 & 6 & 4 \end{pmatrix}
usando redução à forma triangular. O conteúdo envolvido é determinante e operações elementares em linhas, lembrando que adicionar múltiplos de uma linha a outra não altera o valor do determinante.]

Passo 2

Zeramos as entradas abaixo de a_{11}=4 usando combinações de linhas sem alterar o determinante:
R2 \leftarrow R2 -\tfrac{3}{4}R1,
R3 \leftarrow R3 +\tfrac{1}{2}R1,
R4 \leftarrow R4 -2R1.
A matriz fica
\begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 & -4 \\[4pt] 0 & -\tfrac{7}{2} & -\tfrac{5}{4} & 8 \\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{5}{2} & -5 \\[4pt] 0 & -6 & 0 & 12 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora usamos o pivô a_{22}=-\tfrac{7}{2} para zerar as entradas nas linhas 3 e 4 da segunda coluna, ainda sem alterar o determinante:
R3 \leftarrow R3 +\tfrac{2}{7}R2,
R4 \leftarrow R4 +\tfrac{12}{7}R2.
O resultado é
\begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 & -4 \\[4pt] 0 & -\tfrac{7}{2} & -\tfrac{5}{4} & 8 \\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{15}{7} & -\tfrac{19}{7} \\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{15}{7} & \tfrac{180}{7} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Por fim, eliminamos o elemento a_{43}=-\tfrac{15}{7} usando R4 \leftarrow R4 + R3 (também sem alterar o determinante). A forma triangular final é
\begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 & -4 \\[4pt] 0 & -\tfrac{7}{2} & -\tfrac{5}{4} & 8 \\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{15}{7} & -\tfrac{19}{7} \\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{161}{7} \end{pmatrix}.]

Passo 5

O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto,
\det(A) = 4 \times \Bigl(-\tfrac{7}{2}\Bigr)\times \tfrac{15}{7}\times \tfrac{161}{7} = -690.

Resposta

-690

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