Calcule os determinantes abaixo, utilizando a regra de Sarrus:
(b) \left|\begin{array}{lll}2 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 4 & 3 & 0\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 4 & 3 & 0 \end{pmatrix}
usando a regra de Sarrus. Vamos lembrar que, para uma matriz 3\times3, copiamos as duas primeiras colunas à direita, somamos o produto das diagonais principais e subtraímos o produto das diagonais secundárias.

Passo 2

Escrevemos a matriz estendida com as duas primeiras colunas repetidas à direita:
\begin{array}{ccc|cc} 2 & 2 & 0 & 2 & 2\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 4 & 3 & 0 & 4 & 3 \end{array}

Passo 3

Calculamos a soma dos produtos das diagonais que descem para a direita (principais):
\begin{aligned} D_1 &= 2\cdot1\cdot0 = 0,\\\ D_2 &= 2\cdot1\cdot4 = 8,\\\ D_3 &= 0\cdot1\cdot3 = 0,\\\ \text{Soma principal} &= D_1 + D_2 + D_3 = 0 + 8 + 0 = 8. \end{aligned}

Passo 4

Calculamos a soma dos produtos das diagonais que descem para a esquerda (secundárias):
\begin{aligned} E_1 &= 4\cdot1\cdot0 = 0,\\\ E_2 &= 3\cdot1\cdot2 = 6,\\\ E_3 &= 0\cdot1\cdot2 = 0,\\\ \text{Soma secundária} &= E_1 + E_2 + E_3 = 0 + 6 + 0 = 6. \end{aligned}á

Passo 5

Pela regra de Sarrus, o determinante é a diferença entre a soma principal e a soma secundária:
\det(A) = 8 - 6 = 2.

Resposta

O valor do determinante é 2.

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