Calcule o valor de x nos seguintes casos:
(a) \left|\begin{array}{ccc}2 x & 0 & 1 \\\\ 3 x & x & 1 \\\ x & 0 & x-1\end{array}\right|=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x tais que o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 2x & 0 & 1\\\\ 3x & x & 1\\\ x & 0 & x-1 \end{pmatrix}
seja igual a zero. O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 3\times3 e resolução de equação algébrica resultante.

Passo 2

Vamos expandir o determinante pela segunda coluna, já que nela há dois zeros. Lembrando que o cofator de (2,2) tem sinal (-1)^{2+2}=+1, obtemos
\left|\begin{array}{ccc} 2x & 0 & 1\\\\ 3x & x & 1\\\ x & 0 & x-1 \end{array}\right| = x \cdot \left|\begin{array}{cc} 2x & 1\\\ x & x-1 \end{array}\right|.
Agora calculamos o menor 2\times2:
\left|\begin{array}{cc} 2x & 1\\\ x & x-1 \end{array}\right| =2x\,(x-1)-1\cdot x =2x^2-2x-x =2x^2-3x.
Logo o determinante vira
\det = x\,(2x^2-3x) =2x^3-3x^2.

Passo 3

Precisamos resolver
2x^3-3x^2=0.
Fatorando x^2,
x^2\,(2x-3)=0
dá as soluções
x^2=0\implies x=0, \quad 2x-3=0\implies x=\tfrac{3}{2}.

Resposta

x=0 ou x=\tfrac{3}{2}.

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