Calcule os determinantes através das propriedades, justificando os valores obtidos:
(c) \left|\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 & 4 \\\\ 0 & 2 & 8 & 2 \\\\ 2 & 2 & 3 & 1\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 2 \\[6pt] 0 & 0 & 3 & 4 \\[6pt] 0 & 2 & 8 & 2 \\[6pt] 2 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}
Usaremos a propriedade de desenvolvimento por cofactores (expansão por uma coluna) aproveitando que a primeira coluna tem três zeros.]

Passo 2

Expandindo \det(A) pela primeira coluna, só o elemento a_{41}=2 contribui:
\det(A)=\sum_{i=1}^{4}a_{i1}\,C_{i1} =2\;C_{41}.
O cofactor é
C_{41}=(-1)^{4+1}\det\bigl(M_{41}\bigr) =-\det\bigl(M_{41}\bigr),
onde M_{41} é o menor obtido eliminando a linha 4 e a coluna 1.

Passo 3

O menor M_{41} é a matriz 3\times 3
M_{41} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & 3 & 4 \\[4pt] 2 & 8 & 2 \end{pmatrix}.
Para computar \det(M_{41}), expandimos pela primeira linha (apenas o elemento 2 em posição (1,3) é não nulo):
\det(M_{41}) =2\;(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}0 & 3\\\ 2 & 8\end{pmatrix} =2\cdot 1\cdot\bigl(0\cdot 8 - 3\cdot 2\bigr) =2\cdot(-6) =-12.]

Passo 4

Substituindo em \det(A)=2\,C_{41}=-2\,\det(M_{41}), obtemos
\det(A)=-2\cdot(-12)=24.

Resposta

24

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