Calcule os determinantes:
\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 2 & 0 & 0 & 5 \\\\ 6 & 0 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & -4\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 4\times4:
\left|\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 2 & 0 & 0 & 5 \\\\ 6 & 0 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & -4 \end{array}\right|.
Informações dadas (listei as entradas para ficar claro):
  • Primeira linha: 1,2,3,4.
  • Segunda linha: 2,0,0,5.
  • Terceira linha: 6,0,3,0.
  • Quarta linha: 1,0,0,-4.
O que se pede: o valor numérico desse determinante.

Passo 2

Escolha do método: como a segunda coluna tem apenas um elemento não nulo (o 2 na posição (1,2)) é eficiente usar a expansão de Laplace (cofatores) ao longo da segunda coluna. Vou explicar o conceito rápido e claro.
Expansão de Laplace ao longo de uma coluna diz que, para a coluna j,
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i j}(-1)^{i+j}\det(M_{i j}),
onde a_{ij} é o elemento da matriz na linha i e coluna j e \det(M_{ij}) é o determinante do menor obtido removendo a linha i e a coluna j. O fator (-1)^{i+j} é o sinal do cofator.
No nosso caso, na coluna j=2 só existe a_{1,2}=2; os outros a_{2,2},a_{3,2},a_{4,2} são zero. Então a soma tem um único termo.

Passo 3

Calcule o cofator correspondente a a_{1,2}.
O sinal é
(-1)^{1+2}=(-1)^3=-1.
Portanto a contribuição dessa coluna é
\det(A)=a_{1,2}\,(-1)^{1+2}\det(M_{1,2})=2\cdot(-1)\cdot\det(M_{1,2})=-2\det(M_{1,2}).

Passo 4

Formar o menor M_{1,2}: é a matriz 3\times3 que sobra ao retirar a linha 1 e a coluna 2 da matriz original. Assim
M_{1,2}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 5\\[4pt] 6 & 3 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -4 \end{pmatrix}.
Vou calcular \det(M_{1,2}).]

Passo 5

Cálculo do determinante de um 3\times3. Para uma matriz genérica
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}
o determinante é dado por
aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.
Aqui, identificando com M_{1,2}: a=2, b=0, c=5, d=6, e=3, f=0, g=1, h=0, i=-4.
Agora calculo cada termo separadamente (vou mostrar cada multiplicação para ficar cristalino):
  • a e i = 2\cdot 3\cdot(-4)=2\cdot(-12)=-24.
  • b f g = 0\cdot 0\cdot 1 = 0.
  • c d h = 5\cdot 6\cdot 0 = 0.
  • c e g = 5\cdot 3\cdot 1 = 15.
  • b d i = 0\cdot 6\cdot(-4)=0.
  • a f h = 2\cdot 0\cdot 0 = 0.
Somando conforme a fórmula:
\det(M_{1,2}) = (-24) + 0 + 0 - 15 - 0 - 0 = -24 -15 = -39.]

Passo 6

Volto à expressão do Passo 3:
\det(A) = -2\det(M_{1,2}) = -2\cdot(-39) = 78.
Pequena motivação final: expandir pela coluna com muitos zeros economiza cálculos e evita erros — sempre que vir uma coluna ou linha com muitos zeros, pense em Laplace por ali.

Resposta

78

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