Calcule os determinantes:
\left|\begin{array}{lll}4 & 3 & 2 \\\\ 4 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & 0\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 3\times3
\begin{vmatrix} 4 & 3 & 2 \\\\ 4 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
Informações dadas (os elementos da matriz):
a_{11}=4,\quad a_{12}=3,\quad a_{13}=2,
a_{21}=4,\quad a_{22}=2,\quad a_{23}=3,
a_{31}=2,\quad a_{32}=1,\quad a_{33}=0.
A única pergunta é: qual o valor numérico do determinante dessa matriz?

Passo 2

Método escolhido e por quê: para matrizes 3\times3 a regra de Sarrus é direta e rápida — é um método básico que costuma aparecer muito em provas porque evita muita álgebra. Vou explicar a regra de Sarrus passo a passo e aplicá‑la. Depois faço uma verificação por outro método (redução/expansão por cofatores) para você ver que bate — isso ajuda a ganhar confiança na solução.

Passo 3

Regra de Sarrus (explicação didática): para uma matriz genérica
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}
a regra de Sarrus diz que
\det = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
O que isso faz na prática: soma os produtos das três diagonais descendentes da esquerda para a direita e subtrai os produtos das três diagonais descendentes da direita para a esquerda. Cada termo é um produto de três elementos (um de cada linha e coluna).

Passo 4

Aplicando Sarrus à matriz dada. Primeiro calculemos cada termo da soma positiva:
a_{11}a_{22}a_{33} = 4\cdot 2\cdot 0 = 0,
a_{12}a_{23}a_{31} = 3\cdot 3\cdot 2 = 18,
a_{13}a_{21}a_{32} = 2\cdot 4\cdot 1 = 8.
Somando esses termos:
\text{soma positiva} = 0 + 18 + 8 = 26.
Agora os termos da soma negativa:
a_{13}a_{22}a_{31} = 2\cdot 2\cdot 2 = 8,
a_{11}a_{23}a_{32} = 4\cdot 3\cdot 1 = 12,
a_{12}a_{21}a_{33} = 3\cdot 4\cdot 0 = 0.
Somando esses termos:
\text{soma negativa} = 8 + 12 + 0 = 20.
Subtraindo:
\det = \text{soma positiva} - \text{soma negativa} = 26 - 20 = 6.

Passo 5

Verificação alternativa (redução e cofactores) para ter certeza e também para praticar outro método. Primeiro faça a operação de linha R_2 \leftarrow R_2 - R_1 (essa operação não altera o determinante). A matriz fica
\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Agora expandimos o determinante pela primeira coluna (fórmula de Laplace/cofatores). Lembrando que o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}), onde M_{ij} é a menor retirada da linha i e coluna j. Aplicando:
\det = 4\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} + 0\cdot(\cdots) + 2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix},
(atente para os sinais: o termo da terceira linha tem sinal +1 porque (-1)^{3+1}=+1). Calculando as menores:
\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = (-1)\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1,
\det\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} = 3\cdot 1 - 2\cdot(-1) = 3 + 2 = 5.
Substituindo:
\det = 4\cdot(-1) + 2\cdot 5 = -4 + 10 = 6,
que confirma o resultado obtido por Sarrus.]

Passo 6

Resumo didático rápido (como lembrar na prova): para 3\times3 prefira Sarrus quando der para aplicar — escreva as duas primeiras colunas novamente à direita e calcule as 3 diagonais para somar e as 3 diagonais inversas para subtrair. Se quiser checar, faça uma operação de linha simples e expanda por cofatores numa coluna com zeros — isso costuma economizar conta e confirmar o resultado.

Resposta

6

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