Calcule os determinantes:
\left|\begin{array}{rrrr}1 & 0 & -2 & 1 \\\\ -3 & 4 & 1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 3 & -1 \\\\ 0 & 4 & 3 & 2\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 4\times4 abaixo. Vou listar claramente a matriz que foi dada:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\\\ -3 & 4 & 1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 3 & -1 \\\\ 0 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
Objetivo: encontrar \det(A).

Passo 2

Estratégia (explicada de modo bem prático): é conveniente tornar nulos alguns elementos da primeira coluna para facilitar o cálculo. Uma ferramenta muito útil são operações elementares sobre linhas:
  • A operação R_i \leftarrow R_i + kR_j (somar k vezes a linha j à linha i) NÃO altera o determinante.
  • A operação R_i \leftrightarrow R_j (trocar duas linhas) muda o sinal do determinante.
  • Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
    Aqui usaremos só somas de múltiplos de linhas, portanto o determinante permanece o mesmo e isso simplifica muito o cálculo.

Passo 3

Usei a primeira linha como pivô para zerar os elementos abaixo dela na primeira coluna:
R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1, \qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Essas operações não alteram \det(A). Calculando as novas linhas:
  • R_2: (-3,4,1,3) + 3(1,0,-2,1) = (0,4,-5,6).
  • R_3: (2,1,3,-1) - 2(1,0,-2,1) = (0,1,7,-3).
    A quarta linha já tem zero na primeira coluna e permanece (0,4,3,2).
    A matriz transformada é
A'=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\\\ 0 & 4 & -5 & 6 \\\\ 0 & 1 & 7 & -3 \\\\ 0 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix},
e \det(A')=\det(A).

Passo 4

Agora a primeira coluna tem apenas o elemento não nulo na posição (1,1). Podemos expandir o determinante por essa coluna (regra de Laplace): o cofator de (1,1) é +1 vezes o determinante da submatriz obtida eliminando linha 1 e coluna 1. Assim
\det(A)=1\cdot\det(B),
onde
B=\begin{pmatrix} 4 & -5 & 6 \\\\ 1 & 7 & -3 \\\\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora calculamos \det(B). Para uma matriz 3\times3 é prático usar a expansão por elementos da primeira linha (ou a regra de Sarrus). Vou usar a expansão por cofatores na primeira linha:
\det(B)=4\cdot\det\begin{pmatrix}7 & -3 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix} -(-5)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] 4 & 2\end{pmatrix} +6\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 7 \\[4pt] 4 & 3\end{pmatrix}.
Explico: cada termo é o elemento da primeira linha multiplicado pelo determinante do menor 2\times2 que sobra, com o sinal adequado (+,-,+).]

Passo 6

Calcule os determinantes 2\times2 (lembrando que para \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} vale \det = ad-bc):
\det\begin{pmatrix}7 & -3 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix} =7\cdot2 - (-3)\cdot3 = 14 + 9 = 23.
\det\begin{pmatrix}1 & -3 \\[4pt] 4 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2 - (-3)\cdot4 = 2 + 12 = 14.
\det\begin{pmatrix}1 & 7 \\[4pt] 4 & 3\end{pmatrix} =1\cdot3 - 7\cdot4 = 3 - 28 = -25.]

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão de \det(B):
\det(B)=4\cdot 23 -(-5)\cdot 14 + 6\cdot(-25).
Calcule passo a passo:
4\cdot 23 = 92, \qquad -(-5)\cdot 14 = +70, \qquad 6\cdot(-25) = -150.
Somando:
\det(B)=92 + 70 - 150 = 12.

Passo 8

Como \det(A)=1\cdot\det(B) e encontramos \det(B)=12, concluímos que
\det(A)=12.

Resposta

12

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