Calcule os determinantes
\left|\begin{array}{llllll}1 & 1 & 1 & 8 & 9 & 9 \\\\ 9 & 0 & 1 & 0 & 8 & 7 \\\\ 8 & 0 & 0 & 1 & 0 & 8 \\\\ 7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\\\ 6 & 0 & 7 & 0 & 7 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 6\times6. Vamos usar propriedades de determinante, em particular expansão por linhas ou colunas que têm muitos zeros, e depois reduzir a um determinante de dimensão inferior.

Passo 2

Observe que a sexta linha é (0,0,0,0,0,1). Ao expandir o determinante pela sexta linha, só resta o cofator correspondente ao elemento na posição (6,6):
\det(A_{6\times6}) =1\cdot(-1)^{6+6}\det(M_{66}) =\det(M_{66}),
onde M_{66} é a matriz 5\times5 obtida de A eliminando a sexta linha e a sexta coluna.

Passo 3

A matriz M_{66} é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 8 & 9\\\\ 9 & 0 & 1 & 0 & 8\\\\ 8 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 7 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 6 & 0 & 7 & 0 & 7 \end{pmatrix}.
Note que a segunda coluna de M_{66} é (1,0,0,0,0)^T. Expandindo por essa coluna,
\det(M_{66}) =1\cdot(-1)^{1+2}\det\bigl(M_{1,2}\bigr) =-\det\bigl(M_{1,2}\bigr),
onde M_{1,2} é o 4\times4 que sobra ao retirar a primeira linha e a segunda coluna.

Passo 4

O subdeterminante M_{1,2} é
\begin{pmatrix} 9 & 1 & 0 & 8\\\\ 8 & 0 & 1 & 0\\\\ 7 & 0 & 0 & 0\\\\ 6 & 7 & 0 & 7 \end{pmatrix}.
Note que na terceira linha só há 7 na primeira coluna. Expandindo por essa linha:
\det(M_{1,2}) =7\cdot(-1)^{3+1}\det(N) =7\det(N),
onde N é o 3\times3 obtido eliminando linha 3 e coluna 1.

Passo 5

O 3\times3 N vale
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 8\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 7 & 0 & 7 \end{pmatrix}.
Expandindo por sua segunda linha (que tem só um 1):
\det(N) =1\cdot(-1)^{2+2}\det\begin{pmatrix}1&8\\\ 7&7\end{pmatrix} =1\cdot(1\cdot7-8\cdot7) =-49.
Logo \det(M_{1,2})=7\cdot(-49)=-343
e \det(M_{66})=-\det(M_{1,2})=-(-343)=343.

Resposta

\,343

Exercícios relacionados