Justifique por que os determinantes a seguir, são nulos:
\left|\begin{array}{ccc}-2 & 3 & 5 \\\\ 1 & 0 & -2 \\\\ -4 & 6 & 10\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para justificar por que o determinante abaixo é nulo. A matriz (peguei os números do enunciado) é
\begin{pmatrix} -2 & 3 & 5\\[4pt] 1 & 0 & -2\\[4pt] -4 & 6 & 10 \end{pmatrix}
A tarefa específica: mostrar, com justificativa, que
\left|\begin{array}{ccc}-2 & 3 & 5 \\[2pt] 1 & 0 & -2 \\[2pt] -4 & 6 & 10\end{array}\right|=0.]

Passo 2

Observação direta sobre as linhas (isto é, olhe as entradas linha a linha): a terceira linha é exatamente o dobro da primeira. Em forma matemática:
(-4,\,6,\,10)=2\cdot(-2,\,3,\,5).
Ou seja, a linha 3 é proporcional à linha 1 (proporção 2).

Passo 3

Explicar por que isso força o determinante a ser zero (intuição e propriedade usada). Uma propriedade simples e importante dos determinantes é:
se uma linha (ou coluna) de uma matriz é um múltiplo escalar de outra linha (ou coluna), então as linhas são linearmente dependentes e o determinante vale zero.
Vou justificar isso de modo elementar:

Passo 4

Justificativa elementar usando linearidade e o caso de linhas iguais.
  1. Determinante é linear em cada linha separadamente. Assim, se a terceira linha é 2 vezes a primeira, então
\det(\text{matriz})=\det\big(\text{matriz com linha}_3=2\cdot\text{linha}_1\big)=2\det\big(\text{matriz com linha}_3=\text{linha}_1\big).
  1. Agora observe que a matriz em que a terceira linha é igual à primeira tem duas linhas iguais. Mas qualquer matriz que possui duas linhas iguais tem determinante zero. Uma explicação simples para esse fato: trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante. Se as duas linhas são iguais, trocar não altera a matriz, logo o determinante deveria ser igual ao seu negativo, ou seja,
\det=\,-\det\quad\Rightarrow\quad\det=0.
  1. Combinando os itens anteriores, como a matriz original tem a linha 3 igual a 2 vezes a linha 1, seu determinante é 2 vezes o determinante de uma matriz que tem essas duas linhas iguais, e esse último determinante vale 0. Portanto o determinante original vale 0.

Passo 5

Outra forma curtinha e prática (útil na prova): aplicar uma operação elementar de linhas. Substituir a linha 3 por (linha 3) -2\cdot(linha 1) não altera o determinante (essa operação é do tipo L_3\leftarrow L_3-2L_1). Fazendo isso obtemos uma terceira linha nula:
(-4,6,10)-2\cdot(-2,3,5)=(-4,6,10)-(-4,6,10)=(0,0,0).
Uma matriz que tem uma linha nula tem determinante 0. Logo, o determinante da matriz original é 0.

Passo 6

Verificação direta por cálculo (confirmação numérica): expandindo por Laplace pela primeira linha para checar que dá zero:
\begin{aligned} \det &= (-2)\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -2\\[2pt]6 & 10\end{pmatrix} - 3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[2pt]-4 & 10\end{pmatrix} +5\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]-4 & 6\end{pmatrix}\\[6pt] &= (-2)\cdot(0\cdot10-(-2)\cdot6)-3\cdot(1\cdot10-(-2)\cdot(-4))+5\cdot(1\cdot6-0\cdot(-4))\\[6pt] &= (-2)\cdot12-3\cdot2+5\cdot6\\[4pt] &= -24-6+30=0. \end{aligned}
Confere com as razões anteriores.]

Resposta

0

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