Calcule os determinantes:
\left|\begin{array}{rrrr}2 & 3 & -1 & 0 \\\\ 4 & -2 & 1 & 3 \\\\ 1 & -5 & 2 & 1 \\\\ 0 & 3 & -2 & 6\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[6pt] 4 & -2 & 1 & 3 \\[6pt] 1 & -5 & 2 & 1 \\[6pt] 0 & 3 & -2 & 6 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal aqui é expansão por cofatores. Vamos expandir pela primeira coluna, pois nela há um zero, o que simplifica o cálculo.]

Passo 2

Pela expansão pela primeira coluna, temos
\det A = a_{11}M_{11} - a_{21}M_{21} + a_{31}M_{31},
onde
a_{11}=2,\quad a_{21}=4,\quad a_{31}=1,
e M_{ij} é o menor correspondente ao elemento a_{ij}. Portanto
\det A = 2\,M_{11} \;-\;4\,M_{21}\;+\;1\,M_{31}.

Passo 3

Calcular M_{11}: o menor que tira a linha 1 e a coluna 1 de A é
\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3\\\\ -5 & 2 & 1\\\\ 3 & -2 & 6 \end{pmatrix}.
Seu determinante é
M_{11} = (-2)\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\[3pt]-2 & 6\end{pmatrix} -1\det\!\begin{pmatrix}-5 & 1\\[3pt]3 & 6\end{pmatrix} +3\det\!\begin{pmatrix}-5 & 2\\[3pt]3 & -2\end{pmatrix}.
Calculando:
(-2)\bigl(2\cdot6 -1\cdot(-2)\bigr) -1\bigl((-5)\cdot6 -1\cdot3\bigr) +3\bigl((-5)\cdot(-2) -2\cdot3\bigr) = -2\cdot14 -1\cdot(-33) +3\cdot4 = -28 +33 +12 =17.]

Passo 4

Calcular M_{21}: o menor que tira a linha 2 e a coluna 1 é
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0\\\\ -5 & 2 & 1\\\\ 3 & -2 & 6 \end{pmatrix}.
Seu determinante é
M_{21} = 3\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\[3pt]-2 & 6\end{pmatrix} -(-1)\det\!\begin{pmatrix}-5 & 1\\[3pt]3 & 6\end{pmatrix} +0\cdot\bigl(\cdots\bigr).
Logo
M_{21} =3\bigl(12+2\bigr) +1\bigl(-30-3\bigr) =3\cdot14 -33 =42 -33 =9.]

Passo 5

Calcular M_{31}: o menor que tira a linha 3 e a coluna 1 é
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0\\\\ -2 & 1 & 3\\\\ 3 & -2 & 6 \end{pmatrix}.
Seu determinante é
M_{31} = 3\det\!\begin{pmatrix}1 & 3\\[3pt]-2 & 6\end{pmatrix} -(-1)\det\!\begin{pmatrix}-2 & 3\\[3pt]3 & 6\end{pmatrix} +0\cdot\bigl(\cdots\bigr).
Então
M_{31} =3\bigl(6+6\bigr) +1\bigl(-12-9\bigr) =3\cdot12 -21 =36 -21 =15.]

Passo 6

Substituindo em
\det A = 2\,M_{11} -4\,M_{21} +1\,M_{31}, obtemos
\det A = 2\cdot17 \;-\;4\cdot9 \;+\;1\cdot15 =34 -36 +15 =13.

Resposta

13

Exercícios relacionados