Dado o polinômio
F(x)=\left|\begin{array}{lllr}1 & 1 & 1 & 1 \\\ x & 1 & 2 & 3 \\\ x^{2} & 1 & 4 & 9 \\\ x^{3} & 1 & 8 & 27\end{array}\right|, determine as
raízes de F(x).

Passo 1

O enunciado define o polinômio
F(x)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[6pt] x & 1 & 2 & 3 \\[3pt] x^{2} & 1 & 4 & 9 \\[3pt] x^{3} & 1 & 8 & 27 \end{vmatrix}
e pede suas raízes. O conteúdo aqui é reconhecer esse determinante como (a transposta de) uma matriz de Vandermonde nos pontos \alpha_1=x, \alpha_2=1, \alpha_3=2, \alpha_4=3.]

Passo 2

Seja V a matriz de Vandermonde cujas entradas são V_{ij}=\alpha_i^{\,j-1} para i,j=1,\dots,4, com \alpha_1=x, \alpha_2=1, \alpha_3=2, \alpha_4=3. Então a matriz do enunciado é justamente V^T, e como \det(V^T)=\det(V) vale
F(x)=\det(V).

Passo 3

A fórmula do determinante de Vandermonde é
\det(V) =\prod_{1\le i<j\le4}(\alpha_j-\alpha_i)
logo, substituindo \alpha_1=x, \alpha_2=1, \alpha_3=2, \alpha_4=3, temos
F(x) =(1-x)(2-x)(3-x)\,(2-1)(3-1)(3-2).

Passo 4

Calculando os fatores:
(2-1)(3-1)(3-2)=1\cdot2\cdot1=2,
e como (1-x)(2-x)(3-x)=(-1)^3(x-1)(x-2)(x-3)=-\,(x-1)(x-2)(x-3), resulta
F(x)=-2\,(x-1)(x-2)(x-3).
Dessa forma as raízes de F são exatamente os valores que anulam cada fator linear.

Resposta

As raízes de F(x) são
x=1,\quad x=2,\quad x=3.

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