A matriz A tem entradas explícitas mostradas acima.
Na primeira coluna há zeros em posição 2 e 3 (ou seja, a_{21}=0 e a_{31}=0), o que costuma facilitar expansão por cofactores nessa coluna.
O objetivo é obter o valor numérico de \det(A).]
Passo 2
Escolha do método e definição das ferramentas que vou usar (explicando passo a passo, como se estivesse na prova).
Vou usar a expansão por cofactores (expansão de Laplace) ao longo da primeira coluna porque nessa coluna há dois zeros, o que reduz bastante o trabalho.
Lembrete do método (aqui explico didaticamente):
Para uma matriz 4\times4 a expansão ao longo da primeira coluna é
\det(A)=\sum_{i=1}^{4} a_{i1}\,C_{i1},
onde a_{i1} é o elemento da linha i, coluna 1, e C_{i1} é o cofactor correspondente.
O cofactor C_{i1} é definido por
C_{i1}=(-1)^{i+1}\det(M_{i1}),
onde M_{i1} é a matriz 3\times3 obtida removendo a linha i e a coluna 1 de A.
Assim, preciso calcular determinantes de dois ou mais 3\times3 (ou menos, se houver zeros) — e cada determinante 3\times3 pode ser calculado por redução a determinantes 2\times2 ou por propriedades (por exemplo, produto das diagonais se for triangular).
Passo 3
Aplicando a expansão à primeira coluna da matriz A.
Os elementos da primeira coluna são a_{11}=1, a_{21}=0, a_{31}=0, a_{41}=2. Logo
Observação importante: M_{11} é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para uma matriz triangular o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Logo
\det(M_{11})=2\cdot(-1)\cdot 3.
Faço a multiplicação passo a passo:
2\cdot(-1)=-2, \qquad (-2)\cdot 3=-6.
Portanto
\det(M_{11})=-6.]
Passo 5
Calcular \det(M_{41}). Primeiro escrevo M_{41}: é a matriz que resulta de remover a linha 4 e a coluna 1 de A. Assim