Calcule os determinantes das matrizes:
\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & 2 \\\\ 0 & 2 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 0 & 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada 4\times4
A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 & 2 \\[4pt] 0 & 2 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 \\[4pt] 2 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right)
e pede para calcular o determinante \det(A).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A tem entradas explícitas mostradas acima.
  • Na primeira coluna há zeros em posição 2 e 3 (ou seja, a_{21}=0 e a_{31}=0), o que costuma facilitar expansão por cofactores nessa coluna.
  • O objetivo é obter o valor numérico de \det(A).]

Passo 2

Escolha do método e definição das ferramentas que vou usar (explicando passo a passo, como se estivesse na prova).
Vou usar a expansão por cofactores (expansão de Laplace) ao longo da primeira coluna porque nessa coluna há dois zeros, o que reduz bastante o trabalho.
Lembrete do método (aqui explico didaticamente):
  • Para uma matriz 4\times4 a expansão ao longo da primeira coluna é
\det(A)=\sum_{i=1}^{4} a_{i1}\,C_{i1},
onde a_{i1} é o elemento da linha i, coluna 1, e C_{i1} é o cofactor correspondente.
  • O cofactor C_{i1} é definido por
C_{i1}=(-1)^{i+1}\det(M_{i1}),
onde M_{i1} é a matriz 3\times3 obtida removendo a linha i e a coluna 1 de A.
  • Assim, preciso calcular determinantes de dois ou mais 3\times3 (ou menos, se houver zeros) — e cada determinante 3\times3 pode ser calculado por redução a determinantes 2\times2 ou por propriedades (por exemplo, produto das diagonais se for triangular).

Passo 3

Aplicando a expansão à primeira coluna da matriz A.
Os elementos da primeira coluna são a_{11}=1, a_{21}=0, a_{31}=0, a_{41}=2. Logo
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}+a_{41}C_{41}.
Como a_{21}=0 e a_{31}=0, os termos correspondentes são nulos e sobra
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{41}C_{41}.
Calculando os sinais dos cofatores:
C_{11}=(-1)^{1+1}\det(M_{11})=+\det(M_{11}), \qquad C_{41}=(-1)^{4+1}\det(M_{41})=-\det(M_{41}).
Portanto
\det(A)=\det(M_{11})-2\det(M_{41}).

Passo 4

Calcular \det(M_{11}). Primeiro escrevo M_{11}: é a matriz que resulta de remover a linha 1 e a coluna 1 de A. Assim
M_{11}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{array}\right).
Observação importante: M_{11} é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para uma matriz triangular o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Logo
\det(M_{11})=2\cdot(-1)\cdot 3.
Faço a multiplicação passo a passo:
2\cdot(-1)=-2, \qquad (-2)\cdot 3=-6.
Portanto
\det(M_{11})=-6.]

Passo 5

Calcular \det(M_{41}). Primeiro escrevo M_{41}: é a matriz que resulta de remover a linha 4 e a coluna 1 de A. Assim
M_{41}=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 3 & 2 \\[4pt] 2 & -1 & 1 \\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{array}\right).
Para calcular \det(M_{41}) escolho expandir pela primeira coluna também, porque nessa coluna o terceiro elemento é zero, o que simplifica.
Expansão pela primeira coluna de M_{41}:
\det(M_{41}) = (-2)\,C'_{11} + 2\,C'_{21} + 0\cdot C'_{31},
onde C'_{ij} são os cofatores dentro de M_{41}.
Calculo C'_{11} e C'_{21} explicitamente:
  • C'_{11}=(-1)^{1+1}\det\!\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\[4pt] -1 & 1\end{array}\right)=\det\!\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\[4pt] -1 & 1\end{array}\right).
    O determinante 2\times2 é (-1)\cdot 1 - 1\cdot(-1) = -1 -(-1) = -1 +1 = 0.Portanto C'_{11}=0.
  • C'_{21}=(-1)^{2+1}\det\!\left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\[4pt] -1 & 1\end{array}\right)=(-1)\det\!\left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\[4pt] -1 & 1\end{array}\right).
    Calculo o 2\times2 interno: \det\!\left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\[4pt] -1 & 1\end{array}\right)=3\cdot 1 - 2\cdot(-1)=3-(-2)=3+2=5.Então C'_{21}=(-1)\cdot 5=-5.
Substituindo na expansão:
\det(M_{41}) = (-2)\cdot 0 + 2\cdot(-5) + 0 = -10.]

Passo 6

Combinar os resultados obtidos para \det(A).
Lembrando que
\det(A)=\det(M_{11})-2\det(M_{41}),
substituo \det(M_{11})=-6 e \det(M_{41})=-10:
\det(A)=(-6)-2\cdot(-10).
Faço as operações:
2\cdot(-10)=-20, \qquad (-6)-(-20) = -6+20 = 14.

Resposta

14

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