Resolva a equação f(x)=0 onde f(x)=\operatorname{det}(A-x I) e a matriz A é a seguinte: \left(\begin{array}{cc}\cos a & \operatorname{sen} a \\\\ -\operatorname{sen} a & \cos a\end{array}\right);
Passo 1
O enunciado dá a matriz A e pede para resolver a equação f(x)=0 onde f(x)=\det(A-xI). Vou listar exatamente o que temos e o que precisamos achar.
Matriz fornecida:
A=\begin{pmatrix}\cos a & \operatorname{sen} a \\[4pt] -\operatorname{sen} a & \cos a\end{pmatrix}.
A função característica é definida por
f(x)=\det(A-xI),
onde I é a matriz identidade 2\times2 e x é a variável escalar cujo(s) valor(es) queremos encontrar.
Pergunta: determinar todos os x tais que f(x)=0, isto é, encontrar as raízes do polinômio característico (os autovalores de A).]
Passo 2
Primeiro, escrevo a matriz A-xI. A matriz identidade I é \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}, então
A-xI=\begin{pmatrix}\cos a - x & \operatorname{sen} a \\[4pt] -\operatorname{sen} a & \cos a - x\end{pmatrix}.
Explicando: cada elemento da diagonal principal de A tem subtraído x porque estamos subtraindo x vezes a identidade.]
Passo 3
Agora uso a fórmula do determinante para matrizes 2\times2. Se M=\begin{pmatrix}m_{11} & m_{12}\\[2pt] m_{21} & m_{22}\end{pmatrix}, então
\det(M)=m_{11}m_{22}-m_{12}m_{21}.
Aplicando isso a A-xI obtemos
f(x)=\det(A-xI)=(\cos a - x)(\cos a - x)-(\operatorname{sen} a)(- \operatorname{sen} a).
Agora simplifico passo a passo:
f(x)=(\cos a - x)^2 + (\operatorname{sen} a)^2.
Explico: o produto dos off-diagonais é (\operatorname{sen} a)(- \operatorname{sen} a)=-\operatorname{sen}^2 a, e há o menos desse produto na fórmula do determinante, por isso soma \operatorname{sen}^2 a.]
Passo 4
Continuo a simplificação desenvolvendo o quadrado e usando a identidade trigonométrica \cos^2 a+\operatorname{sen}^2 a=1:
f(x)=(\cos a - x)^2 + \operatorname{sen}^2 a = (\cos^2 a - 2\cos a\, x + x^2) + \operatorname{sen}^2 a.
Agrupando termos:
f(x)=x^2 - 2\cos a\, x + (\cos^2 a + \operatorname{sen}^2 a).
Como \cos^2 a + \operatorname{sen}^2 a=1, resulta
f(x)=x^2 - 2\cos a\, x + 1.
Comentário didático: chegamos a um polinômio quadrático em x. Para resolver f(x)=0 usamos a fórmula da equação quadrática.
Passo 5
Resolvo a equação quadrática
x^2 - 2\cos a\, x + 1 = 0.
A fórmula das raízes da equação x^2 + bx + c = 0 é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}.
Aqui b=-2\cos a e c=1. O discriminante é
\Delta=b^2-4c = (-2\cos a)^2 - 4\cdot 1 = 4\cos^2 a - 4 = -4\operatorname{sen}^2 a.
Note que \Delta pode ser negativo (para a maioria dos a), zero (quando \operatorname{sen} a=0) ou não positivo. Agora aplico a fórmula:
x=\frac{2\cos a \pm \sqrt{-4\operatorname{sen}^2 a}}{2}=\cos a \pm \sqrt{-\operatorname{sen}^2 a}.
Como \sqrt{-\operatorname{sen}^2 a}=i\,\operatorname{sen} a (onde i é a unidade imaginária), obtemos
x=\cos a \pm i\,\operatorname{sen} a.
Passo 6
Interpretação e formas equivalentes (úteis na prova):
As raízes gerais são
x=\cos a \pm i\,\operatorname{sen} a.
Usando a fórmula de Euler e^{i a}=\cos a + i\operatorname{sen} a e e^{-i a}=\cos a - i\operatorname{sen} a, essas raízes podem ser escritas de forma compacta como
x=e^{i a}\quad\text{e}\quad x=e^{-i a}.
Caso especial: se \operatorname{sen} a=0 (ou seja, a=k\pi com k\in\mathbb{Z}), então as duas raízes coincidem e são reais:
x=\cos a = (-1)^k,
ou seja, x=1 quando a é múltiplo de 2\pi e x=-1 quando a é \pi mais múltiplos de 2\pi.