Calcule os determinantes das matrizes:
\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 0 & 0 \\ 11 & 12 & 0 & 0\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz 4\times4
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 5 & 6 & 7 & 8 \\\\ 9 & 10 & 0 & 0 \\\\ 11 & 12 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • A é a matriz indicada acima, com entradas explícitas em cada linha e coluna.
  • A tarefa é calcular \det(A).

Passo 2

Vamos escolher uma maneira prática de calcular o determinante. Uma técnica muito útil é a expansão de Laplace (também chamada de cofactores): ao expandir a determinante ao longo de uma linha ou coluna, cada termo envolve um elemento dessa linha/coluna multiplicado pelo determinante de uma submatriz (menor), com o sinal apropriado.
A fórmula geral de expansão ao longo da linha i é
\det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(M_{ij}),
onde a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j e M_{ij} é a matriz obtida de A eliminando a linha i e a coluna j (o menor correspondente). O fator (-1)^{i+j} é o sinal do cofactor.
Por que escolher uma linha/coluna específica? Porque convém escolher uma linha ou coluna com muitos zeros — isso reduz muito o trabalho. Observando A, a terceira e a quarta linhas têm zeros nas colunas 3 e 4. Em particular, a terceira linha (9,10,0,0) tem apenas dois elementos não nulos; expandir ao longo da terceira linha será eficiente.

Passo 3

Aplicando a expansão de Laplace pela linha 3 (ou seja, i=3), só os termos das colunas 1 e 2 contribuem, porque as colunas 3 e 4 têm entradas zero naquela linha. Então
\det(A)=(-1)^{3+1}\cdot 9\cdot\det(M_{31}) + (-1)^{3+2}\cdot 10\cdot\det(M_{32}).
Calculando os sinais: (-1)^{4}=1 e (-1)^{5}=-1. Logo
\det(A)=9\det(M_{31}) - 10\det(M_{32}).

Passo 4

Agora identificamos os menores M_{31} e M_{32}.
  • M_{31} é a matriz 3\times3 obtida de A eliminando a linha 3 e a coluna 1. Assim
M_{31}=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4\\\\ 6 & 7 & 8\\\\ 12 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Para calcular o determinante de uma 3\times3 usa-se a fórmula
\det\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix} = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg).
Aplicando com a=2,b=3,c=4,d=6,e=7,f=8,g=12,h=0,i=0:
  • ei-fh = 7\cdot 0 - 8\cdot 0 = 0.
  • di-fg = 6\cdot 0 - 8\cdot 12 = -96.
  • dh-eg = 6\cdot 0 - 7\cdot 12 = -84.
Substituindo:
\det(M_{31}) = 2\cdot 0 - 3\cdot(-96) + 4\cdot(-84) = 0 + 288 - 336 = -48.

Passo 5

Agora M_{32} é a matriz 3\times3 obtida eliminando a linha 3 e a coluna 2:
M_{32}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\\\ 5 & 7 & 8\\\\ 11 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Usando a mesma fórmula com a=1,b=3,c=4,d=5,e=7,f=8,g=11,h=0,i=0:
  • ei-fh = 7\cdot 0 - 8\cdot 0 = 0.
  • di-fg = 5\cdot 0 - 8\cdot 11 = -88.
  • dh-eg = 5\cdot 0 - 7\cdot 11 = -77.
Substituindo:
\det(M_{32}) = 1\cdot 0 - 3\cdot(-88) + 4\cdot(-77) = 0 + 264 - 308 = -44.

Passo 6

Voltando à expressão da Passo 3:
\det(A)=9\det(M_{31}) - 10\det(M_{32}).
Substituindo os valores encontrados:
\det(A)=9\cdot(-48) - 10\cdot(-44).

Resposta

\;8\;

Exercícios relacionados