Calcule os determinantes das matrizes:
\left(\begin{array}{ll}\operatorname{sen} \alpha & \cos \alpha \\\ \operatorname{sen} \beta & \cos \beta\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz cujos elementos são funções trigonométricas:
\begin{pmatrix} \sin\alpha & \cos\alpha\\[4pt] \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • Os elementos da matriz são \sin\alpha, \cos\alpha, \sin\beta e \cos\beta.
  • A única pergunta é: qual é o determinante dessa matriz?]

Passo 2

Lembra do que é o determinante de uma matriz 2\times2? Para uma matriz genérica
\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d \end{pmatrix}
o determinante é dado por
\det = ad - bc.
Aqui a,b,c,d representam os quatro elementos da matriz (primeira linha: a,b; segunda linha: c,d). Essa fórmula vem da definição padrão do determinante para matrizes 2\times2 e é algo que vale decorar para provas.]

Passo 3

Aplicando a fórmula ad-bc à nossa matriz, identificando
a=\sin\alpha,\qquad b=\cos\alpha,\qquad c=\sin\beta,\qquad d=\cos\beta,
temos
\det = (\sin\alpha)(\cos\beta) - (\cos\alpha)(\sin\beta).

Passo 4

Agora usamos uma identidade trigonométrica fundamental: a fórmula do seno da diferença de ângulos. Para quaisquer ângulos x e y vale
\sin(x-y)=\sin x\cos y - \cos x\sin y.
Uma maneira rápida de obter essa identidade é partir da fórmula da soma \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y e substituir y por -y; lembrando que \cos(-y)=\cos y e \sin(-y)=-\sin y, chega-se à fórmula acima.
Usando essa identidade com x=\alpha e y=\beta, obtemos
\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.

Passo 5

Comparando a expressão do determinante encontrada no Passo 3 com a identidade do Passo 4, concluímos que o determinante é exatamente \sin(\alpha-\beta).
Uma verificação rápida e intuitiva: se \alpha=\beta então \sin(\alpha-\beta)=\sin 0=0, o que faz sentido pois as linhas da matriz seriam iguais e o determinante deve ser zero. Se \alpha-\beta=\tfrac{\pi}{2} então o determinante vale 1, etc. Essas checagens ajudam a confiar no resultado.

Resposta

\sin(\alpha-\beta)

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