Calcule os determinantes das matrizes:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz cujos elementos são funções trigonométricas:
Informações dadas:
- Os elementos da matriz são
, , e . - A única pergunta é: qual é o determinante dessa matriz?]
Passo 2
Lembra do que é o determinante de uma matriz
? Para uma matriz genérica
o determinante é dado por
Aqui
representam os quatro elementos da matriz (primeira linha:
; segunda linha:
). Essa fórmula vem da definição padrão do determinante para matrizes
e é algo que vale decorar para provas.]
Passo 3
Aplicando a fórmula
à nossa matriz, identificando
temos
Passo 4
Agora usamos uma identidade trigonométrica fundamental: a fórmula do seno da diferença de ângulos. Para quaisquer ângulos
e
vale
Uma maneira rápida de obter essa identidade é partir da fórmula da soma
e substituir
por
; lembrando que
e
, chega-se à fórmula acima.
Usando essa identidade com
e
, obtemos
Passo 5
Comparando a expressão do determinante encontrada no Passo 3 com a identidade do Passo 4, concluímos que o determinante é exatamente
.
Uma verificação rápida e intuitiva: se
então
, o que faz sentido pois as linhas da matriz seriam iguais e o determinante deve ser zero. Se
então o determinante vale
, etc. Essas checagens ajudam a confiar no resultado.