Calcule os determinantes das matrizes:
\left(\begin{array}{ll}1+x_{1} y_{1} & 1+x_{1} y_{2} \\\\ 1+x_{2} y_{1} & 1+x_{2} y_{2}\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado dá a matriz 2\times2
\begin{pmatrix} 1 + x_{1} y_{1} & 1 + x_{1} y_{2} \\\\ 1 + x_{2} y_{1} & 1 + x_{2} y_{2} \end{pmatrix}
e pede para calcular o determinante dessa matriz. Vou listar claramente o que temos:
  • Entradas da primeira linha: \,a = 1 + x_{1}y_{1} e \,b = 1 + x_{1}y_{2}.
  • Entradas da segunda linha: \,c = 1 + x_{2}y_{1} e \,d = 1 + x_{2}y_{2}.
    Objetivo: calcular \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}.

Passo 2

Lembrete e mini-aula sobre determinante de 2\times2:
  • Para uma matriz 2\times2 com primeiras letras como acima, a fórmula do determinante é
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc.
  • O que isso significa na prática: multiplica-se o elemento da “diagonal principal” ( a vezes d) e subtrai-se o produto da “outra diagonal” ( b vezes c). Essa fórmula é a ferramenta que vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, substituindo a,b,c,d pelas entradas dadas:
\det = (1 + x_{1}y_{1})(1 + x_{2}y_{2}) - (1 + x_{1}y_{2})(1 + x_{2}y_{1}).
Agora vamos desenvolver esses produtos com calma, expandindo termo a termo.

Passo 4

Expandindo cada produto cuidadosamente:
(1 + x_{1}y_{1})(1 + x_{2}y_{2}) = 1 + x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{1}x_{2}y_{1}y_{2},
(1 + x_{1}y_{2})(1 + x_{2}y_{1}) = 1 + x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1} + x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}.

Passo 5

Subtraindo o segundo produto do primeiro e simplificando termo a termo:
\det = \bigl(1 + x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}\bigr) - \bigl(1 + x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1} + x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}\bigr).
Agora cancelam-se 1 com 1 e x_{1}x_{2}y_{1}y_{2} com x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}, restando
\det = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} - x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}.
Agrupando termos para fatorar, observe que podemos escrever
\det = x_{1}y_{1} - x_{1}y_{2} + x_{2}y_{2} - x_{2}y_{1} = x_{1}(y_{1}-y_{2}) - x_{2}(y_{1}-y_{2}).
Fatorando (y_{1}-y_{2}) temos
\det = (x_{1} - x_{2})(y_{1} - y_{2}).

Passo 6

Interpretação e dicas para a prova (curto e prático):
  • Resultado simples e simétrico: \det = (x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2}).
  • Consequências rápidas que ajudam em provas: se x_{1}=x_{2} ou y_{1}=y_{2}, o determinante é zero (linhas ou colunas iguais -> matriz singular).
  • Um jeito alternativo de ver (sem expandir tanto): a matriz é a soma de uma matriz de uns e do produto externo (x)(y)^{T}; por ter estrutura de soma de matrizes de posto 1, o determinante termina sendo produto de diferenças — mas na prova usar a expansão direta é mais seguro e rápido.

Resposta

(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})

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