e pede para calcular o determinante dessa matriz. Vou listar claramente o que temos:
Entradas da primeira linha: \,a = 1 + x_{1}y_{1} e \,b = 1 + x_{1}y_{2}.
Entradas da segunda linha: \,c = 1 + x_{2}y_{1} e \,d = 1 + x_{2}y_{2}.
Objetivo: calcular \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}.
Passo 2
Lembrete e mini-aula sobre determinante de 2\times2:
Para uma matriz 2\times2 com primeiras letras como acima, a fórmula do determinante é
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc.
O que isso significa na prática: multiplica-se o elemento da “diagonal principal” (a vezes d) e subtrai-se o produto da “outra diagonal” (b vezes c). Essa fórmula é a ferramenta que vamos aplicar passo a passo.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso, substituindo a,b,c,d pelas entradas dadas:
Interpretação e dicas para a prova (curto e prático):
Resultado simples e simétrico: \det = (x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2}).
Consequências rápidas que ajudam em provas: se x_{1}=x_{2} ou y_{1}=y_{2}, o determinante é zero (linhas ou colunas iguais -> matriz singular).
Um jeito alternativo de ver (sem expandir tanto): a matriz é a soma de uma matriz de uns e do produto externo (x)(y)^{T}; por ter estrutura de soma de matrizes de posto 1, o determinante termina sendo produto de diferenças — mas na prova usar a expansão direta é mais seguro e rápido.