Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).
a) Se A é matriz n \times n e A^{2}=\mathbf{0} então A=\mathbf{0}, aqui \mathbf{0} é a matriz nula.
b) A única matriz n \times n simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula.
c) Se A é uma matriz n \times n e A^{2}=I_{n} então A=I_{n} ou A=-I_{n} ( I_{n} é a matriz identidade n \times n ).
d) Se A e B são duas matrizes n \times n e A B=B A, então (A B)^{p}=A^{p} B^{p} para todo número natural p.
e) Se A e B são matrizes n \times n tais que A B=\mathbf{0} então B A=\mathbf{0}.
f) Se A é uma matriz n \times n e A^{4}-3 A^{2}+7 A-I_{n}=\mathbf{0} então A é invertível (i.é. A B=B A=I_{n} para alguma matriz B, n \times n.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado pede e os dados para cada item.
  • (a) Pergunta: Se A é matriz n\times n e A^{2}=\mathbf{0}, então A=\mathbf{0}?
    Dado: A^{2}=\mathbf{0}.
  • (b) Pergunta: A única matriz n\times n que é simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula?
    Dado: A^{T}=A e A^{T}=-A simultaneamente.
  • (c) Pergunta: Se A é matriz n\times n e A^{2}=I_{n} então A=I_{n} ou A=-I_{n}?
    Dado: A^{2}=I_{n}.
  • (d) Pergunta: Se A e B são matrizes n\times n e A B=B A, então (A B)^{p}=A^{p} B^{p} para todo p\in\mathbb{N}?
    Dado: A e B comutam: AB=BA.
  • (e) Pergunta: Se A e B são matrizes n\times n tais que A B=\mathbf{0} então B A=\mathbf{0}?
    Dado: AB=\mathbf{0}.
  • (f) Pergunta: Se A é matriz n\times n e A^{4}-3A^{2}+7A-I_{n}=\mathbf{0} então A é invertível?
    Dado: A^{4}-3A^{2}+7A-I_{n}=\mathbf{0}.
Observação: em cada item trabalharei com matrizes sobre um corpo usual (por exemplo \mathbb{R}); se o corpo tiver característica especial (ex.: característica 2) pode haver nuances que eu apontarei quando relevantes.

Passo 2

Item (a). Conceito importante e ideia geral.
  • Definição: uma matriz A é nula se todos os seus elementos são zero; escrevemos isso \mathbf{0}.
  • A condição A^{2}=\mathbf{0} diz que A é nilpotente de índice ao menos 2: ao multiplicar A por si mesma obtemos a matriz nula.
Para decidir se a afirmação é verdadeira para todas as n precisamos verificar se existem matrizes não-nulas cuja quadrada seja a nula. Se existir pelo menos uma contraexemplo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Contraexemplo concreto para (a) (mostrando que a afirmação é falsa quando n\ge2).
Considere a matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Calculemos A^{2}:
A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot0\\[4pt] 0\cdot0+0\cdot0 & 0\cdot1+0\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=\mathbf{0}.
Aqui A\neq\mathbf{0} mas A^{2}=\mathbf{0}. Logo a afirmação é falsa em geral.
Observação extra (caso especial n=1): se n=1 então A=(a) é escalar e a^{2}=0 implica a=0. Portanto para n=1 a afirmação seria verdadeira, mas o enunciado é para matriz n\times n em geral, então o contraexemplo com n=2 basta para mostrar que a afirmação é falsa.]

Passo 4

Item (b). Definições e argumento.
  • Definição: A é simétrica se A^{T}=A.
  • Definição: A é anti-simétrica (ou skewsymmetric) se A^{T}=-A.
Se uma matriz satisfaz ambas as igualdades simultaneamente então
A = A^{T} = -A.
Isto implica
A = -A \quad\Rightarrow\quad A + A = \mathbf{0} \quad\Rightarrow\quad 2A=\mathbf{0}.
Se estamos trabalhando sobre um corpo em que 2\neq 0 (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}), então da igualdade 2A=\mathbf{0} segue A=\mathbf{0}. Portanto, sobre \mathbb{R} (caso usual), a única matriz que é ao mesmo tempo simétrica e anti-simétrica é a matriz nula.
Caveat: se o corpo tiver característica 2 (isto é, 1+1=0 no corpo), a conclusão não vale porque 2A=\mathbf{0} é satisfeita por qualquer A; nesse caso existem matrizes não nulas que são simultaneamente simétricas e anti-simétricas. Mas no contexto padrão sobre \mathbb{R} a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Item (c). Entendimento do polinômio matricial e contraexemplo.
A condição A^{2}=I_{n} diz que A é uma involução: a matriz satisfaz o polinômio x^{2}-1=0, cujas raízes são x=\pm1. Isso implica que todos os autovalores de A são 1 ou -1, mas não obriga que todos sejam iguais entre si. Logo existem matrizes com autovalores mistos 1 e -1 que não são nem I_{n} nem -I_{n} mas ainda satisfazem A^{2}=I_{n}.
Contraexemplo concreto:
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Verifica-se
A^{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}^{2} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I_{2},
mas claramente A\neq I_{2} e A\neq -I_{2}. Outro exemplo simples é a matriz de permutação
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
que também satisfaz A^{2}=I_{2} sem ser \pm I_{2}.
Portanto a afirmação é falsa.
Explicação conceitual: matrizes com A^{2}=I são exatamente as matrizes diagonalizáveis (quando diagonalizáveis) com autovalores \pm1; há muitas escolhas de multiplicidades que dão matrizes diferentes de \pm I.]

Passo 6

Item (d). Demonstração de que a afirmação é verdadeira quando AB=BA.
Proposição útil: se AB=BA então, para todo k\in\mathbb{N}, vale A B^{k}=B^{k}A. Prova por indução sobre k:
  • Base k=1: é exatamente a hipótese AB=BA.
  • Passo indutivo: suponha A B^{k}=B^{k}A. Então
A B^{k+1}= (A B^{k})B = (B^{k}A)B = B^{k}(AB) = B^{k}(BA) = (B^{k+1})A.
Logo a propriedade vale para k+1.
Agora usamos isso para provar (AB)^{p}=A^{p}B^{p} por indução em p.
  • Base p=1: trivialmente (AB)^{1}=AB=A^{1}B^{1}.
  • Passo indutivo: suponha (AB)^{p}=A^{p}B^{p}. Então
(AB)^{p+1}=(AB)^{p}(AB)=A^{p}B^{p}AB.
Como A comuta com B^{p} (pelo lema), B^{p}A=AB^{p}. Assim
A^{p}B^{p}AB = A^{p}(B^{p}A)B = A^{p}(A B^{p})B = A^{p+1}B^{p+1}.
Isso conclui a indução. Portanto a afirmação é verdadeira para todo p\in\mathbb{N}.
Comentário: a condição de comutatividade AB=BA é essencial; se A e B não comutarem a identidade pode falhar.

Passo 7

Item (e). Contraexemplo mostrando que a afirmação é falsa.
Queremos um par A,B tais que AB=\mathbf{0} mas BA\neq\mathbf{0}. Considere as matrizes 2\times2
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Calcule AB:
AB=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot0+0\cdot1 & 1\cdot0+0\cdot0\\[4pt] 0\cdot0+0\cdot1 & 0\cdot0+0\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=\mathbf{0}.
Agora calcule BA:
BA=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot1+0\cdot0 & 0\cdot0+0\cdot0\\[4pt] 1\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot0+0\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
que é diferente de \mathbf{0}. Portanto a afirmação é falsa em geral.
Intuição: multiplicação de matrizes não é comutativa, então anular um produto por um lado não garante anular pelo outro.]

Passo 8

Item (f). Mostrar que A é invertível se satisfaz A^{4}-3A^{2}+7A-I_{n}=\mathbf{0}.
Reescrevemos a igualdade matricial agrupando um fator A:
A^{4}-3A^{2}+7A-I_{n}= \mathbf{0} \quad\Longrightarrow\quad A^{4}-3A^{2}+7A = I_{n}.
Agora fatoramos à esquerda por A (todas as potências permitem fatorar à esquerda):
A(A^{3}-3A+7I_{n})=I_{n}.
Isto mostra que existe a matriz C:=A^{3}-3A+7I_{n} tal que
A C = I_{n}.
Ou seja, C é uma inversa direita de A.
Para matrizes quadradas é um fato básico que existir uma inversa direita implica que a matriz é invertível (tem inversa à esquerda e à direita coincidentes). Dou uma prova curta e elementar:
Se A C=I_{n}, então para qualquer vetor x\in\mathbb{R}^{n} temos
x = I_{n}x = (AC)x = A(Cx),
portanto todo vetor x é imagem por A; isto é, A é sobrejetora. Em espaços vetoriais de dimensão finita (como \mathbb{R}^{n}), uma transformação linear sobrejetora é também injetora, logo \ker(A)=\{0\}. Assim A é invertível. Outra maneira: se A C=I e A é quadrada, então multiplicando à esquerda por C e fazendo alguns passos pode-se mostrar que C também é inversa à esquerda, mas o argumento da surjetividade é simples e suficiente.
Além disso, a matriz C encontrada é precisamente a inversa de A; isto é, A^{-1}=A^{3}-3A+7I_{n}. (Uma vez que A é invertível, a inversa à direita é única e coincide com a inversa usual.)
Portanto a afirmação é verdadeira: qualquer matriz A que satisfaça A^{4}-3A^{2}+7A-I_{n}=\mathbf{0} é invertível.

Resposta

a) Falso
b) Verdadeiro (sobre \mathbb{R}; cuidado em corpos de característica 2)
c) Falso
d) Verdadeiro
e) Falso
f) Verdadeiro

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