Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).
a) Se
é matriz
e
então
, aqui
é a matriz nula.
b) A única matriz
simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula.
c) Se
é uma matriz
e
então
ou
(
é a matriz identidade
).
d) Se
e
são duas matrizes
e
, então
para todo número natural
.
e) Se
e
são matrizes
tais que
então
.
f) Se
é uma matriz
e
então
é invertível (i.é.
para alguma matriz
,
.
a) Se
b) A única matriz
c) Se
d) Se
e) Se
f) Se
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado pede e os dados para cada item.
-
(a) Pergunta: Se
é matriz e , então ?
Dado:. -
(b) Pergunta: A única matriz
que é simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula?
Dado:e simultaneamente. -
(c) Pergunta: Se
é matriz e então ou ?
Dado:. -
(d) Pergunta: Se
e são matrizes e , então para todo ?
Dado:e comutam: . -
(e) Pergunta: Se
e são matrizes tais que então ?
Dado:. -
(f) Pergunta: Se
é matriz e então é invertível?
Dado:.
Observação: em cada item trabalharei com matrizes sobre um corpo usual (por exemplo
); se o corpo tiver característica especial (ex.: característica
) pode haver nuances que eu apontarei quando relevantes.
Passo 2
Item (a). Conceito importante e ideia geral.
- Definição: uma matriz
é nula se todos os seus elementos são zero; escrevemos isso . - A condição
diz que é nilpotente de índice ao menos : ao multiplicar por si mesma obtemos a matriz nula.
Para decidir se a afirmação é verdadeira para todas as
precisamos verificar se existem matrizes não-nulas cuja quadrada seja a nula. Se existir pelo menos uma contraexemplo, a afirmação é falsa.
Passo 3
Contraexemplo concreto para (a) (mostrando que a afirmação é falsa quando
).
Considere a matriz
Calculemos
:
Aqui
mas
. Logo a afirmação é falsa em geral.
Observação extra (caso especial
): se
então
é escalar e
implica
. Portanto para
a afirmação seria verdadeira, mas o enunciado é para matriz
em geral, então o contraexemplo com
basta para mostrar que a afirmação é falsa.]
Passo 4
Item (b). Definições e argumento.
- Definição:
é simétrica se . - Definição:
é anti-simétrica (ou skewsymmetric) se .
Se uma matriz satisfaz ambas as igualdades simultaneamente então
Isto implica
Se estamos trabalhando sobre um corpo em que
(por exemplo
ou
), então da igualdade
segue
. Portanto, sobre
(caso usual), a única matriz que é ao mesmo tempo simétrica e anti-simétrica é a matriz nula.
Caveat: se o corpo tiver característica
(isto é,
no corpo), a conclusão não vale porque
é satisfeita por qualquer
; nesse caso existem matrizes não nulas que são simultaneamente simétricas e anti-simétricas. Mas no contexto padrão sobre
a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Item (c). Entendimento do polinômio matricial e contraexemplo.
A condição
diz que
é uma involução: a matriz satisfaz o polinômio
, cujas raízes são
. Isso implica que todos os autovalores de
são
ou
, mas não obriga que todos sejam iguais entre si. Logo existem matrizes com autovalores mistos
e
que não são nem
nem
mas ainda satisfazem
.
Contraexemplo concreto:
Verifica-se
mas claramente
e
. Outro exemplo simples é a matriz de permutação
que também satisfaz
sem ser
.
Portanto a afirmação é falsa.
Explicação conceitual: matrizes com
são exatamente as matrizes diagonalizáveis (quando diagonalizáveis) com autovalores
; há muitas escolhas de multiplicidades que dão matrizes diferentes de
.]
Passo 6
Item (d). Demonstração de que a afirmação é verdadeira quando
.
Proposição útil: se
então, para todo
, vale
. Prova por indução sobre
:
- Base
: é exatamente a hipótese . - Passo indutivo: suponha
. Então
Logo a propriedade vale para
.
Agora usamos isso para provar
por indução em
.
- Base
: trivialmente . - Passo indutivo: suponha
. Então
Como
comuta com
(pelo lema),
. Assim
Isso conclui a indução. Portanto a afirmação é verdadeira para todo
.
Comentário: a condição de comutatividade
é essencial; se
e
não comutarem a identidade pode falhar.
Passo 7
Item (e). Contraexemplo mostrando que a afirmação é falsa.
Queremos um par
tais que
mas
. Considere as matrizes
Calcule
:
Agora calcule
:
que é diferente de
. Portanto a afirmação é falsa em geral.
Intuição: multiplicação de matrizes não é comutativa, então anular um produto por um lado não garante anular pelo outro.]
Passo 8
Item (f). Mostrar que
é invertível se satisfaz
.
Reescrevemos a igualdade matricial agrupando um fator
:
Agora fatoramos à esquerda por
(todas as potências permitem fatorar à esquerda):
Isto mostra que existe a matriz
tal que
Ou seja,
é uma inversa direita de
.
Para matrizes quadradas é um fato básico que existir uma inversa direita implica que a matriz é invertível (tem inversa à esquerda e à direita coincidentes). Dou uma prova curta e elementar:
Se
, então para qualquer vetor
temos
portanto todo vetor
é imagem por
; isto é,
é sobrejetora. Em espaços vetoriais de dimensão finita (como
), uma transformação linear sobrejetora é também injetora, logo
. Assim
é invertível. Outra maneira: se
e
é quadrada, então multiplicando à esquerda por
e fazendo alguns passos pode-se mostrar que
também é inversa à esquerda, mas o argumento da surjetividade é simples e suficiente.
Além disso, a matriz
encontrada é precisamente a inversa de
; isto é,
. (Uma vez que
é invertível, a inversa à direita é única e coincide com a inversa usual.)
Portanto a afirmação é verdadeira: qualquer matriz
que satisfaça
é invertível.
Resposta
a) Falso
b) Verdadeiro (sobre
; cuidado em corpos de característica
)
c) Falso
d) Verdadeiro
e) Falso
f) Verdadeiro