A função quadrática V(q)=-q^{2}+11 q-24 retorna o saldo V, em milhões de reais, obtido por uma empresa em função da quantidade q, em milhares de unidades, de peças que comercializa por mês. Sabe-se que em janeiro de um determinado ano \mathrm{q}=2; em fevereiro \mathrm{q}=7 e em março q foi a quantidade que gera o maior saldo possível. Considerando a soma dos saldos obtidos pela empresa nesses três meses, é correto afirmar que houve
(A) prejuízo de 2,25 milhões de reais.
(B) lucro de 6,75 milhões de reais.
(C) lucro de 4,25 milhões de reais.
(D) lucro de 3 milhões de reais.
(E) prejuízo de 6 milhões de reais.

Passo 1

O enunciado fornece a função quadrática que dá o saldo da empresa em milhões de reais em função da quantidade vendida (em milhares de unidades):
V(q)=-q^{2}+11q-24.
As informações dadas são:
  • Em janeiro: q=2.
  • Em fevereiro: q=7.
  • Em março: q foi a quantidade que gera o maior saldo possível (ou seja, q é o valor de q que maximiza V(q)).
O que o problema pede: calcular a soma dos saldos obtidos nos três meses (janeiro + fevereiro + março) e, com isso, identificar se houve lucro ou prejuízo e qual alternativa da lista corresponde ao resultado.

Passo 2

Calcular o saldo em janeiro substituindo q=2 em V(q). Para avaliar um polinômio, substitui-se a variável pelo número dado e realiza-se as operações:
V(2)=-(2)^{2}+11\cdot 2-24.
Agora calculando passo a passo:
(2)^{2}=4,\qquad - (2)^{2} = -4,
11\cdot 2=22.
Portanto
V(2)=-4+22-24.
Somando os termos:
-4+22=18,\qquad 18-24=-6.
Logo o saldo em janeiro é -6 milhões de reais (ou seja, prejuízo de 6 milhões).

Passo 3

Calcular o saldo em fevereiro substituindo q=7:
V(7)=-(7)^{2}+11\cdot 7-24.
Calculemos:
(7)^{2}=49,\qquad -(7)^{2}=-49,
11\cdot 7=77.
Então
V(7)=-49+77-24.
Somando:
-49+77=28,\qquad 28-24=4.
Portanto o saldo em fevereiro é 4 milhões de reais (lucro de 4 milhões).

Passo 4

Agora precisamos do q que maximiza V(q). Como V(q) é uma função quadrática com coeficiente do termo quadrático negativo (pois o coeficiente é -1), o gráfico é uma parábola voltada para baixo e tem um ponto máximo (o vértice). Uma maneira elementar, sem derivadas, é completar o quadrado para escrever V(q) numa forma que mostre diretamente o máximo.
Começamos com
V(q)=-q^{2}+11q-24 = -\bigl(q^{2}-11q\bigr)-24.
Para completar o quadrado em q^{2}-11q, lembramos que
q^{2}-11q = \left(q-\frac{11}{2}\right)^{2} - \left(\frac{11}{2}\right)^{2}.
Substituindo:
V(q) = -\left[\left(q-\frac{11}{2}\right)^{2} - \left(\frac{11}{2}\right)^{2}\right] -24.
Distribuindo o sinal negativo:
V(q) = -\left(q-\frac{11}{2}\right)^{2} + \left(\frac{11}{2}\right)^{2} -24.
Calcule \left(\dfrac{11}{2}\right)^{2}:
\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}.
Então
V(q) = -\left(q-\frac{11}{2}\right)^{2} + \frac{121}{4} -24.
Escrevendo 24 com denominador 4: 24=\dfrac{96}{4}. Assim
V(q) = -\left(q-\frac{11}{2}\right)^{2} + \frac{121-96}{4} = -\left(q-\frac{11}{2}\right)^{2} + \frac{25}{4}.

Passo 5

A forma obtida mostra claramente o máximo: o termo negativo em frente ao quadrado é sempre \le 0, e atinge 0 quando q-\dfrac{11}{2}=0. Portanto:
  • O q que maximiza V(q) é
q=\frac{11}{2}=5{,}5.
  • O valor máximo do saldo é o termo constante quando o quadrado é zero:
V\!\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{25}{4}=6{,}25.
Portanto em março (quando q=5{,}5) o saldo foi 6{,}25 milhões de reais (lucro de 6{,}25 milhões).

Passo 6

Agora somamos os saldos dos três meses:
\text{soma}=V(2)+V(7)+V\!\left(\frac{11}{2}\right).
Substituindo os valores já calculados:
\text{soma}=(-6)+4+6{,}25.
Calcule:
-6+4=-2,\qquad -2+6{,}25=4{,}25.
Portanto a soma dos saldos é 4{,}25 milhões de reais, isto é, houve lucro total de 4{,}25 milhões nos três meses.

Passo 7

Interpretação final e escolha da alternativa: o resultado corresponde a um lucro de 4{,}25 milhões de reais, que é a alternativa (C).

Resposta

(C) lucro de 4,25 milhões de reais.

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