A função quadrática
retorna o saldo V, em milhões de reais, obtido por uma empresa em função da quantidade q, em milhares de unidades, de peças que comercializa por mês. Sabe-se que em janeiro de um determinado ano
; em fevereiro
e em março q foi a quantidade que gera o maior saldo possível. Considerando a soma dos saldos obtidos pela empresa nesses três meses, é correto afirmar que houve
(A) prejuízo de 2,25 milhões de reais.
(B) lucro de 6,75 milhões de reais.
(C) lucro de 4,25 milhões de reais.
(D) lucro de 3 milhões de reais.
(E) prejuízo de 6 milhões de reais.
(A) prejuízo de 2,25 milhões de reais.
(B) lucro de 6,75 milhões de reais.
(C) lucro de 4,25 milhões de reais.
(D) lucro de 3 milhões de reais.
(E) prejuízo de 6 milhões de reais.
Passo 1
O enunciado fornece a função quadrática que dá o saldo da empresa em milhões de reais em função da quantidade vendida (em milhares de unidades):
As informações dadas são:
- Em janeiro:
. - Em fevereiro:
. - Em março:
foi a quantidade que gera o maior saldo possível (ou seja, é o valor de que maximiza ).
O que o problema pede: calcular a soma dos saldos obtidos nos três meses (janeiro + fevereiro + março) e, com isso, identificar se houve lucro ou prejuízo e qual alternativa da lista corresponde ao resultado.
Passo 2
Calcular o saldo em janeiro substituindo
em
. Para avaliar um polinômio, substitui-se a variável pelo número dado e realiza-se as operações:
Agora calculando passo a passo:
Portanto
Somando os termos:
Logo o saldo em janeiro é
milhões de reais (ou seja, prejuízo de
milhões).
Passo 3
Calcular o saldo em fevereiro substituindo
:
Calculemos:
Então
Somando:
Portanto o saldo em fevereiro é
milhões de reais (lucro de
milhões).
Passo 4
Agora precisamos do
que maximiza
. Como
é uma função quadrática com coeficiente do termo quadrático negativo (pois o coeficiente é
), o gráfico é uma parábola voltada para baixo e tem um ponto máximo (o vértice). Uma maneira elementar, sem derivadas, é completar o quadrado para escrever
numa forma que mostre diretamente o máximo.
Começamos com
Para completar o quadrado em
, lembramos que
Substituindo:
Distribuindo o sinal negativo:
Calcule
:
Então
Escrevendo
com denominador
:
. Assim
Passo 5
A forma obtida mostra claramente o máximo: o termo negativo em frente ao quadrado é sempre
, e atinge
quando
. Portanto:
- O
que maximiza é
- O valor máximo do saldo é o termo constante quando o quadrado é zero:
Portanto em março (quando
) o saldo foi
milhões de reais (lucro de
milhões).
Passo 6
Agora somamos os saldos dos três meses:
Substituindo os valores já calculados:
Calcule:
Portanto a soma dos saldos é
milhões de reais, isto é, houve lucro total de
milhões nos três meses.
Passo 7
Interpretação final e escolha da alternativa: o resultado corresponde a um lucro de
milhões de reais, que é a alternativa (C).
Resposta
(C) lucro de
milhões de reais.