Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a Expansão de Laplace:
\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 0 & 1 & 2 \\\\ 3 & 4 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 4 & 0 & 1 & 2\\\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}
usando a expansão de Laplace. Como há um zero na entrada a_{21}, faz sentido expandir pela segunda linha.

Passo 2

Aplicando a fórmula da expansão de Laplace pela linha 2, temos
\det(A) \;=\;\sum_{j=1}^{4}(-1)^{2+j}\,a_{2j}\,\det(M_{2j})
e, como a_{21}=0, restam apenas os termos j=2,3,4.

Passo 3

Para j=2: a_{22}=1 e o sinal é ( -1)^{2+2}=+1. O menor M_{22} é
M_{22}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\\\ 4 & 1 & 2\\\\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Calculando seu determinante:
\det(M_{22}) =1\cdot\begin{vmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{vmatrix} -3\cdot\begin{vmatrix}4 & 2\\\ 3 & 1\end{vmatrix} +4\cdot\begin{vmatrix}4 & 1\\\ 3 & 0\end{vmatrix} =1\cdot1-3\cdot(-2)+4\cdot(-3)=-5.
O cofator é +1\cdot(-5)=-5.

Passo 4

Para j=3: a_{23}=2 e o sinal é ( -1)^{2+3}=-1. O menor M_{23} é
M_{23}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 4 & 0 & 2\\\\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
Logo,
\det(M_{23}) =1\,(0\cdot1-2\cdot4)-2\,(4\cdot1-2\cdot3)+4\,(4\cdot4-0\cdot3) =-8-2\cdot(-2)+4\cdot16=60.
O cofator é -1\cdot2\cdot60=-120.

Passo 5

Para j=4: a_{24}=3 e o sinal é ( -1)^{2+4}=+1. O menor M_{24} é
M_{24}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 4 & 0 & 1\\\\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(M_{24}) =1\,(0\cdot0-1\cdot4)-2\,(4\cdot0-1\cdot3)+3\,(4\cdot4-0\cdot3) =-4-2\cdot(-3)+3\cdot16=50,
e o cofator é +3\cdot50=150.

Passo 6

Somando todos os cofatores:
\det(A)=(-5)+(-120)+150=25.

Resposta

25

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