Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a Expansão de Laplace:
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\\\ 4 & 1 & 0 \\\\ 3 & 5 & 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\[6pt] 4 & 1 & 0 \\[6pt] 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}
usando a expansão de Laplace. O conteúdo envolve definir menores, cofatores e somar as contribuições dos elementos de uma linha (ou coluna).]

Passo 2

Observe que a primeira linha de A tem um elemento zero, o que simplifica a expansão. Vamos expandir pela primeira linha:
\det(A) = \sum_{j=1}^{3} (-1)^{1+j}\,a_{1j}\,\det(M_{1j}),
onde a_{1j} é o elemento da primeira linha e M_{1j} é o menor obtido ao remover linha 1 e coluna j.

Passo 3

Para j=1, temos a_{11}=1 e o cofactor é
(-1)^{1+1} = +1.
O menor M_{11} é
M_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[3pt] 5 & 6 \end{pmatrix},
logo
\det(M_{11}) = 1\cdot6 - 0\cdot5 = 6.
A contribuição de a_{11} ao determinante é
1 \times 6 = 6.]

Passo 4

Para j=2, a_{12}=0 e sua contribuição é zero.
Para j=3, a_{13}=2 e o cofactor é
(-1)^{1+3} = (+1).
O menor M_{13} é
M_{13} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\[3pt] 3 & 5 \end{pmatrix},
portanto
\det(M_{13}) = 4\cdot5 - 1\cdot3 = 20 - 3 = 17.
A contribuição de a_{13} é
2 \times 17 = 34.]

Passo 5

Somando as contribuições não nulas, obtemos
\det(A) = 6 + 34 = 40.

Resposta

40

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