Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a Expansão de Laplace:
\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 3 & 4 \\\\ 5 & 6 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\[6pt] 0 & 3 & 4 \\[6pt] 5 & 6 & 7 \end{pmatrix}
usando a Expansão de Laplace, que consiste em expandir o determinante em relação a uma linha ou coluna, somando os produtos de cada elemento pelo seu cofator.]

Passo 2

Vamos expandir em relação à primeira linha, porque ela contém um zero e isso simplifica os cálculos. A fórmula da expansão em relação à linha 1 é
\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j} e M_{1j} é o menor obtido ao eliminar linha 1 e coluna j.

Passo 3

Calculando cada menor e cofator:
  • Para a_{11}=2:
M_{11} = \det\begin{pmatrix}3 & 4 \\[4pt] 6 & 7\end{pmatrix} = 3\cdot7 - 4\cdot6 = 21 - 24 = -3,
C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = (-1)^2\cdot(-3) = -3.
  • Para a_{12}=1:
M_{12} = \det\begin{pmatrix}0 & 4 \\[4pt] 5 & 7\end{pmatrix} = 0\cdot7 - 4\cdot5 = -20,
C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = (-1)^3\cdot(-20) = 20.
  • Para a_{13}=0, o termo a_{13}C_{13} será zero, então não precisamos calcular M_{13}.]

Passo 4

Substituindo na fórmula da expansão:
\det(A) = 2\cdot(-3) + 1\cdot20 + 0 = -6 + 20 = 14.

Resposta

O determinante da matriz é 14.

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